4 Séries de Potências e de Taylor
- Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em
, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver, em torno de
, expansões em séries de potências usando a série geométrica básica
Em cada caso vamos manipular algebricamente a função para encaixar nessa forma (talvez extraindo constantes ou trocando
por
,
,
etc.) e então ler o raio de convergência de
.
Passo 2
Para
note que
Aplicando a série geométrica com
obtemos
Passo 3
Para
factoramos o 3 e usamos
:
Passo 4
Para
escrevemos
Passo 5
Para
colocamos
Passo 6
Para
separemos
e usemos
:
Passo 7
Para
escrevemos
Passo 8
Para
separamos
Somando termos iguais em
dá
Passo 9
Para
colocamos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)