4 Séries de Potências e de Taylor

  1. Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
11-x=sumn=0^infty x^n, para |x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
(a) f(x)=11+x
(b) f(x)=31-x^4
(c) f(x)=23-x
(d) f(x)=1x+10
(e) f(x)=x9+x^2
(f) f(x)=x2 x^2+1
(g) f(x)=1+x1-x
(h) f(x)=-x^2a^3-x^3

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver, em torno de x=0, expansões em séries de potências usando a série geométrica básica
11 - t ;=;sumn=0^infty t^n, |t|<1
Em cada caso vamos manipular algebricamente a função para encaixar nessa forma (talvez extraindo constantes ou trocando t por -x, x^2, x/3 etc.) e então ler o raio de convergência de |t|<1.

Passo 2

Para f(x)=11+x note que
11+x=11-(-x)
Aplicando a série geométrica com t=-x obtemos
11+x =sumn=0^infty(-x)^n =sumn=0^infty(-1)^n x^n, |x|<1

Passo 3

Para f(x)=31-x^4 factoramos o 3 e usamos t=x^4:
31-x^4 =3sumn=0^infty(x^4)^n =sumn=0^infty3,x^4n, |x|<1

Passo 4

Para f(x)=23-x escrevemos
23-x =23l(1-tfracx3r) =23sumn=0^inftyl(x3r)^n =sumn=0^infty23^,n+1,x^n, |x|<3

Passo 5

Para f(x)=1x+10 colocamos
1x+10 =110l(1+tfracx10r) =110sumn=0^infty(-1)^nl(x10r)^n =sumn=0^infty(-1)^n10^,n+1,x^n, |x|<10

Passo 6

Para f(x)=x9+x^2 separemos x e usemos t=-tfracx^29:
x9+x^2 =x9l(1+tfracx^29r) =x9sumn=0^infty(-1)^nl(x^29r)^n =sumn=0^infty(-1)^n9^,n+1,x^2n+1, |x|<3

Passo 7

Para f(x)=x2x^2+1 escrevemos
x2x^2+1 =;x;11+2x^2 =xsumn=0^infty(-1)^n(2x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n2^n,x^2n+1, |2x^2|<1;Longrightarrow;|x|<1raiz2

Passo 8

Para f(x)=1+x1-x separamos
1+x1-x =11-x+x1-x =sumn=0^inftyx^n+sumn=0^inftyx^n+1
Somando termos iguais em x^n
1+x1-x =1+2sumn=1^inftyx^n, |x|<1

Passo 9

Para f(x)=-x^2a^3-x^3 colocamos
-x^2a^3-x^3 =-x^2a^3l(1-tfracx^3a^3r) =-x^2a^3sumn=0^inftyl(x^3a^3r)^n =-sumn=0^inftyx^3n+2a^,3n+3, |x|<|a|

Resposta

(a) 11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n,;|x|<1
(b) 31-x^4=sumn=0^infty3,x^4n,;|x|<1
(c) 23-x=sumn=0^infty23^n+1,x^n,;|x|<3
(d) 1x+10=sumn=0^infty(-1)^n10^n+1,x^n,;|x|<10
(e) x9+x^2=sumn=0^infty(-1)^n9^n+1,x^2n+1,;|x|<3
(f) x2x^2+1=sumn=0^infty(-1)^n2^n,x^2n+1,;|x|<tfrac1raiz2
(g) 1+x1-x=1+2sumn=1^inftyx^n,;|x|<1
(h) -x^2a^3-x^3=-sumn=0^inftyx^3n+2a^3n+3,;|x|<|a|

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