Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r=2 cos 4 theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva polar
r = 2cos(4theta)
Primeiro vamos tratar essa função em coordenadas cartesianas, gráficando r como função de theta. Depois, a partir desse gráfico, construiremos o esboço em coordenadas polares. O conteúdo é o de curvas em coordenas polares (rosas) e usaremos periodicidade, amplitude e zeros de cos(4theta).

Passo 2

Analise de r(theta)=2cos(4theta):
  • Amplitude: ,2.
  • Período: T = 2pi4 = pi2
  • Zeros: cos(4theta)=0 em
4theta = (2k+1)pi2 Rightarrow theta = (2k+1)pi8
  • Extremos:
    • Máximos r=2 em 4theta=2kpi, ou seja theta=kpi2
    • Mínimos r=-2 em 4theta=pi+2kpi, ou seja theta=pi4+kpi2
Montamos uma tabela de valores num período [0,pi/2]:
c|ccccc theta & 0 & tfracpi8 & tfracpi4 & tfrac3pi8 & tfracpi2hline r & 2 & 0 & -2 & 0 & 2

Passo 3

Esboce r(theta) em eixos convencionais:
  • É uma cossenoide de amplitude 2, comprimida horizontalmente por 4, portanto com quatro “meio-ciclos” em [0,2pi].
  • Zera em theta=pi/8,3pi/8,5pi/8,dots e atinge pm2 nos pontos da tabela (repetindo a cada pi/2).

Passo 4

Passe para coordenadas polares usando os pontos-chave e o sinal de r:
  • Em theta=0, r=2 dá um ponto a 2 unidades no eixo polar.
  • Em theta=pi/8, r=0 volta à origem.
  • Em theta=pi/4, r=-2 situa-se a 2 unidades na direção theta+pi=5pi/4.
  • Em theta=3pi/8, r=0 novamente na origem.
  • Em theta=pi/2, r=2 dá um ponto a 2 unidades na vertical.
Repita esse padrão para thetain[0,2pi]. A cada intervalo de largura pi/2 surgem duas pétalas (uma por sinal positivo de r e outra espelhada pelo negativo), totalizando 8 pétalas.

Resposta

A curva é uma “rosa” de 8 pétalas, cada pétala com comprimento máximo 2, igualmente espaçadas de pi/4. As direções das pétalas ocorrem em
theta = k,pi4, k=0,1,2,dots,7

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