Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r=1+2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: ( 1) esboçar em coordenadas cartesianas o gráfico de
r = 1 + 2costheta
como função de theta, e depois ( 2) usar esse gráfico para produzir o esboço da curva no plano polar. O conteúdo é curvas polares do tipo limacon de Pascal, e vamos precisar identificar máximos, mínimos e zeros de r(theta).

Passo 2

Vamos traçar r(theta). Primeiro determinamos valores notáveis em [0,2pi]:
theta=0:
r(0)=1+2cos0=1+2cdot1=3
theta=tfracpi2:
rl(tfracpi2r)=1+2cos!l(tfracpi2r)=1+2cdot0=1
Zeramos r:
1+2costheta=0 ;Longrightarrow; costheta=-tfrac12 ;Longrightarrow; theta=tfrac2pi3,;tfrac4pi3
theta=pi:
r(pi)=1+2cospi=1+2cdot(-1)=-1
theta=tfrac3pi2:
rl(tfrac3pi2r)=1+2cos!l(tfrac3pi2r)=1+2cdot0=1
theta=2pi:
r(2pi)=1+2cos(2pi)=3
Agora esboçamos em papel cartesiano o “senoide deslocado” que passa por:
(0,3),;l(tfracpi2,1r),;l(tfrac2pi3,0r),;( pi,-1),;l(tfrac4pi3,0r),;l(tfrac3pi2,1r),;(2pi,3)

Passo 3

Identificamos os intervalos onde r é positivo ou negativo:
  • Em [0,tfrac2pi3) e (tfrac4pi3,2pi]: r>=0.
  • Em (tfrac2pi3,tfrac4pi3): r<=0.
Isso significa que entre theta=2pi/3 e theta=4pi/3, o ponto polar “vira” 180circ (porque r<0), produzindo o laço interno.

Passo 4

Mapeamos alguns pontos chave para o plano polar:
1. theta=0, r=3 to ponto em (3,0).
2. theta=tfracpi2, r=1 to ponto em (0,1).
3. theta=tfrac2pi3, r=0 to origem.
4. Para theta=pi, r=-1 to como r é negativo, toma-se a direção theta+pi=2pi, e o ponto fica em (1,0), gerando o laço.
5. theta=tfrac4pi3, r=0 to volta à origem.
6. Finalmente, em theta=2pi, r=3 to retorna a (3,0).

Passo 5

Com esses pontos e sabendo que a variação de r é suave, traçamos:
  • Um ramo externo que sai de (3,0), desce até (0,1), vai até a origem em theta=2pi/3, continua até o máximo negativo em theta=pi (que reflete para (1,0)), volta à origem em theta=4pi/3 e depois retorna a (3,0).
  • O resultado é um limacon com um laço interno (porque 1<2), com “gordura” maior para thetaapprox0 e um laço voltado para theta=pi.

Resposta

O esboço é um limacon de Pascal com laço interno, de máximo r=3 em theta=0, zeros em theta=2pi/3 e theta=4pi/3 e laço interno obtido quando r<0 para thetain(2pi/3,4pi/3).

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