Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (
) esboçar em coordenadas cartesianas o gráfico de
como função de
, e depois (
) usar esse gráfico para produzir o esboço da curva no plano polar. O conteúdo é curvas polares do tipo limacon de Pascal, e vamos precisar identificar máximos, mínimos e zeros de
.
Passo 2
Vamos traçar
. Primeiro determinamos valores notáveis em
:
Zeramos
:
Agora esboçamos em papel cartesiano o “senoide deslocado” que passa por:
Passo 3
Identificamos os intervalos onde
é positivo ou negativo:
- Em
e : . - Em
: .
Isso significa que entre
e
, o ponto polar “vira”
(porque
), produzindo o laço interno.
Passo 4
Mapeamos alguns pontos chave para o plano polar:
Passo 5
Com esses pontos e sabendo que a variação de
é suave, traçamos:
- Um ramo externo que sai de
, desce até , vai até a origem em , continua até o máximo negativo em (que reflete para ), volta à origem em e depois retorna a . - O resultado é um limacon com um laço interno (porque
), com “gordura” maior para e um laço voltado para .
Resposta
O esboço é um limacon de Pascal com laço interno, de máximo
em
, zeros em
e
e laço interno obtido quando
para
.