(0,5 pt) Considere o P.V.I.:
(a) Mostre que ele possui infinitas soluções.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.
Passo 1
O enunciado trata de um P.V.I. (problema de valor inicial) dado por
O conteúdo é EDO separável e o Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf). Vamos usar separação de variáveis para encontrar a solução geral, depois aplicar a condição inicial e por fim discutir o teorema.
Passo 2
Separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Isso dá
Resolvendo para
obtemos
Passo 3
Aplicando a condição inicial
precisamos de
o que não é possível para nenhum
finito. Logo não existe solução não-trivial que passe por
. A única função que satisfaz
e
em todo intervalo é
Portanto, ao contrário do enunciado, não há infinitas soluções — existe apenas a solução trivial.
Passo 4
A função
é de classe
em
, logo é localmente Lipschitz em torno de
. Pelas hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, existe e é única a solução local do P.V.I., o que explica por que não há qualquer contradição.
Resposta
(a) A única solução do P.V.I. é y(x)=0, logo não há infinitas soluções. (b) Como f(y)=3y^3 é C¹ (e, portanto, localmente Lipschitz) em torno de y=0, o Teorema de Existência e Unicidade garante existência e unicidade da solução, sem contradição.