(0,5 pt) Considere o P.V.I.:
l y^prime=3 y^3, y(0)=0
(a) Mostre que ele possui infinitas soluções.
(b) Explique por que este exemplo não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade.

Passo 1

O enunciado trata de um P.V.I. (problema de valor inicial) dado por
y' = 3y^3, y(0)=0
O conteúdo é EDO separável e o Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf). Vamos usar separação de variáveis para encontrar a solução geral, depois aplicar a condição inicial e por fim discutir o teorema.

Passo 2

Separamos variáveis:
dydx = 3y^3 Longrightarrow dyy^3 = 3,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral y^-3,dy = integral 3,dx
Isso dá
-12y^2 = 3x + C
Resolvendo para y obtemos
y(x) = pm1raiz-6x - 2C

Passo 3

Aplicando a condição inicial y(0)=0 precisamos de
pm1raiz-2C = 0,
o que não é possível para nenhum C finito. Logo não existe solução não-trivial que passe por (0,0). A única função que satisfaz y' =3y^3 e y(0)=0 em todo intervalo é
y(x) = 0
Portanto, ao contrário do enunciado, não há infinitas soluções — existe apenas a solução trivial.

Passo 4

A função f(y)=3y^3 é de classe C^1 em R, logo é localmente Lipschitz em torno de y=0. Pelas hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, existe e é única a solução local do P.V.I., o que explica por que não há qualquer contradição.

Resposta

(a) A única solução do P.V.I. é y(x)=0, logo não há infinitas soluções. (b) Como f(y)=3y^3 é C¹ (e, portanto, localmente Lipschitz) em torno de y=0, o Teorema de Existência e Unicidade garante existência e unicidade da solução, sem contradição.

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