Para as questões 1 e 2 utilize a definição de limites para responder às questões.
Calcule para as funções abaixo o valor da derivada da função f no ponto x_{0} dado.
f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cos x no ponto x_{0}=\frac{\pi}{6} usando a definição de derivada por limite. Vamos usar trigonometria básica e os limites fundamentais
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada em x_{0}:
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0})}{h}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do cosseno da soma:
\cos(x_{0}+h) = \cos x_{0}\,\cos h - \sin x_{0}\,\sin h.
Logo,
\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0}) = \cos x_{0}(\cos h - 1) - \sin x_{0}\,\sin h.

Passo 4

Substituímos na definição de derivada e separamos em dois limites:
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0}\frac{\cos x_{0}(\cos h - 1)}{h} - \lim_{h\to0}\frac{\sin x_{0}\,\sin h}{h}.
Como \cos x_{0} e \sin x_{0} são constantes relativas a h, fica
f'(x_{0}) = \cos x_{0}\,\lim_{h\to0}\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x_{0}\,\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.

Passo 5

Usamos os limites conhecidos:
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0 e \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
Logo
f'(x_{0}) = \cos x_{0}\cdot 0 \;-\;\sin x_{0}\cdot 1 = -\,\sin x_{0}.

Passo 6

Finalmente, substituímos x_{0}=\tfrac{\pi}{6}:
f'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\,\frac{1}{2}.

Resposta

f'\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr) = -\frac{1}{2}.

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