Seja o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k}. Determine:
(a) \operatorname{div} \mathrm{F}
(b) \operatorname{rot} \mathbf{F}
(c) Verifique se \mathbf{F} é conservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{i}+z\,\mathbf{j}+x\,\mathbf{k}
e pede (a) o divergente de \mathbf{F}, (b) o rotacional de \mathbf{F} e (c) verificar se \mathbf{F} é conservativo.
Para isso vamos usar as definições
\operatorname{div}\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}
e
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix},
além do fato de que, em \mathbb{R}^3 simplesmente conexo, \mathbf{F} é conservativa se e somente se \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 2

Vamos calcular o divergente usando
\operatorname{div}\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y) +\frac{\partial}{\partial y}(z) +\frac{\partial}{\partial z}(x).
Como y não depende de x, z não depende de y e x não depende de z, temos
\frac{\partial y}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial x}{\partial z}=0,
logo
\operatorname{div}\mathbf{F}=0+0+0=0.

Passo 3

Agora o rotacional:
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ y & z & x \end{vmatrix}.
Ao expandir em cofatores,
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\mathbf{i}\bigl(\tfrac{\partial x}{\partial y}-\tfrac{\partial z}{\partial z}\bigr) -\mathbf{j}\bigl(\tfrac{\partial x}{\partial x}-\tfrac{\partial y}{\partial z}\bigr) +\mathbf{k}\bigl(\tfrac{\partial z}{\partial x}-\tfrac{\partial y}{\partial y}\bigr).
Calculando cada derivada:
\tfrac{\partial x}{\partial y}=0,\quad \tfrac{\partial z}{\partial z}=1,\quad \tfrac{\partial x}{\partial x}=1,\quad \tfrac{\partial y}{\partial z}=0,\quad \tfrac{\partial z}{\partial x}=0,\quad \tfrac{\partial y}{\partial y}=1.
Substituindo,
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\mathbf{i}(0-1)-\mathbf{j}(1-0)+\mathbf{k}(0-1) =-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}.

Passo 4

Para ser conservativo em todo \mathbb{R}^3 basta ter \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}. Aqui
\operatorname{rot}\mathbf{F}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}\neq\mathbf{0},
logo \mathbf{F} não é conservativa.

Resposta

(a) \operatorname{div}\mathbf{F}=0\n
(b) \operatorname{rot}\mathbf{F}=(-1,-1,-1)\n
(c) \mathbf{F} não é conservativa.

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