Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
(retângulos inscritos)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
diretamente através do limite das somas de Riemann, usando partições de mesmo comprimento e retângulos inscritos (isto é, inscrevendo os retângulos sob o gráfico). Informações dadas:
Passo 2
Definimos a partição em
subintervalos de mesmo comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
Chamamos os pontos da partição de
Para retângulos inscritos em uma função crescente, usamos o ponto esquerdo de cada subintervalo como amostra. Assim o ponto de amostragem no
-ésimo subintervalo é
A soma de Riemann à esquerda (retângulos inscritos) é dada por
A integral é o limite dessa soma quando
:
Observação didática: aqui
é a largura de cada retângulo e
é a altura escolhida (valor da função no ponto esquerdo). Como
é crescente, o valor em
é o menor no subintervalo, então esses retângulos ficam inscritos (subestimam), mas ao fazer
a diferença some.
Passo 3
Agora substituímos
e
na soma:
Fatorando
:
Passo 4
Avaliamo a soma
. Fazendo a mudança
obtemos
, que é a soma dos primeiros
inteiros. A fórmula conhecida é
Aplicando com
(e incluindo o
que não altera a soma) temos
Substituindo em
:
Passo 5
Agora substituímos
:
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Portanto a integral vale
. Breve interpretação: os retângulos inscritos subestimam para cada
, mas à medida que
cresce a soma aproxima-se de
.
Passo 7
Para fixar a ideia, veja um exemplo numérico rápido (não é necessário para a prova, só para intuição): se
então
e os pontos esquerdos são
. A soma é
que é um valor abaixo de
. Ao aumentar
a soma sobe e converge para
.