Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
\int_{0}^{3} 2 x d x (retângulos inscritos)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{3} 2x\,dx
diretamente através do limite das somas de Riemann, usando partições de mesmo comprimento e retângulos inscritos (isto é, inscrevendo os retângulos sob o gráfico). Informações dadas:
\text{intervalo: }[0,3],\quad f(x)=2x,\quad \text{partições com }n\text{ subintervalos de mesmo comprimento,}çõ
\text{retângulos inscritos (usar o valor de }f\text{ no ponto esquerdo de cada subintervalo).}â

Passo 2

Definimos a partição em n subintervalos de mesmo comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}.
Chamamos os pontos da partição de
x_0=0,\; x_1=\Delta x,\; x_2=2\Delta x,\;\dots,\; x_i=i\Delta x,\;\dots,\; x_n=3.
Para retângulos inscritos em uma função crescente, usamos o ponto esquerdo de cada subintervalo como amostra. Assim o ponto de amostragem no i-ésimo subintervalo é
x_{i-1}=(i-1)\Delta x.
A soma de Riemann à esquerda (retângulos inscritos) é dada por
R_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x.
A integral é o limite dessa soma quando n\to\infty:
\int_{0}^{3}2x\,dx=\lim_{n\to\infty} R_n.
Observação didática: aqui \Delta x é a largura de cada retângulo e f(x_{i-1}) é a altura escolhida (valor da função no ponto esquerdo). Como f(x)=2x é crescente, o valor em x_{i-1} é o menor no subintervalo, então esses retângulos ficam inscritos (subestimam), mas ao fazer n\to\infty a diferença some.

Passo 3

Agora substituímos f(x)=2x e x_{i-1}=(i-1)\Delta x na soma:
R_n=\sum_{i=1}^{n} 2\bigl(x_{i-1}\bigr)\Delta x =\sum_{i=1}^{n} 2\bigl((i-1)\Delta x\bigr)\Delta x.
Fatorando \Delta x:
R_n=2\Delta x^2\sum_{i=1}^{n} (i-1).

Passo 4

Avaliamo a soma \sum_{i=1}^{n}(i-1). Fazendo a mudança k=i-1 obtemos \sum_{k=0}^{n-1} k, que é a soma dos primeiros n-1 inteiros. A fórmula conhecida é
\sum_{k=1}^{m} k=\frac{m(m+1)}{2}.
Aplicando com m=n-1 (e incluindo o k=0 que não altera a soma) temos
\sum_{i=1}^{n}(i-1)=\frac{(n-1)n}{2}.
Substituindo em R_n:
R_n=2\Delta x^2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\Delta x^2\,n(n-1).

Passo 5

Agora substituímos \Delta x=\dfrac{3}{n}:
R_n=\left(\frac{3}{n}\right)^2 n(n-1) =\frac{9}{n^2}\,n(n-1) =9\cdot\frac{n-1}{n}.

Passo 6

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} R_n=\lim_{n\to\infty} 9\cdot\frac{n-1}{n} =9\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right) =9\cdot 1=9.
Portanto a integral vale 9. Breve interpretação: os retângulos inscritos subestimam para cada n, mas à medida que n cresce a soma aproxima-se de 9.

Passo 7

Para fixar a ideia, veja um exemplo numérico rápido (não é necessário para a prova, só para intuição): se n=3 então \Delta x=1 e os pontos esquerdos são 0,1,2. A soma é
R_3=2(0)\cdot1+2(1)\cdot1+2(2)\cdot1=0+2+4=6,
que é um valor abaixo de 9. Ao aumentar n a soma sobe e converge para 9.

Resposta

9

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