Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2\right) d x (retângulos inscritos)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2\right)\,dx
usando o limite das somas de Riemann com partições de subintervalos de mesmo comprimento e com retângulos inscritos. Informações relevantes dadas: o intervalo é [0,2], a função é f(x)=x^{3}+2 e devemos usar retângulos inscritos (isto é, retângulos que ficam por baixo da curva quando a função é crescente).

Passo 2

Escolhemos uma partição regular com n subintervalos de igual comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.
Como a função f(x)=x^{3}+2 é crescente em [0,2] (pois x^{3} é crescente), os retângulos inscritos correspondem ao uso dos pontos à esquerda de cada subintervalo. Definimos os pontos de amostragem (pontos à esquerda) por
x_{i-1}=0+(i-1)\Delta x=\frac{2(i-1)}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann com retângulos inscritos (soma à esquerda) é
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x.

Passo 3

Substituímos f e \Delta x em S_{n}:
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)^{3}+2\right]\cdot\frac{2}{n}.
Separamos a soma em duas partes (uma com o termo cúbico e outra com a constante):
S_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)^{3}+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}2.

Passo 4

Simplificamos cada soma. Para a soma do cúbico:
\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)^{3} =\frac{2}{n}\cdot\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{3} =\frac{16}{n^{4}}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{3}.
Para a soma do termo constante:
\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}2=\frac{2}{n}\cdot 2n=4.
Portanto
S_{n}=\frac{16}{n^{4}}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{3}+4.

Passo 5

Mudamos o índice para ficar mais padrão: seja k=i-1. Então k varia de 0 até n-1 e
\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{3}=\sum_{k=0}^{n-1}k^{3}=\sum_{k=1}^{n-1}k^{3},
pois o termo k=0 é zero. Usamos agora a fórmula conhecida para a soma dos cubos dos m primeiros inteiros:
\sum_{k=1}^{m}k^{3}=\left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^{2}.
Aqui m=n-1, portanto
\sum_{k=1}^{n-1}k^{3}=\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^{2}.
(Comentário rápido sobre a fórmula: a soma dos primeiros m inteiros é \sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}. A identidade \sum_{k=1}^m k^{3}=\big(\sum_{k=1}^m k\big)^{2} é uma identidade clássica que pode ser provada por indução ou por argumentos algébricos; aqui aplicamos diretamente.)

Passo 6

Substituímos essa expressão em S_{n}:
S_{n}=\frac{16}{n^{4}}\left(\frac{(n-1)^{2}n^{2}}{4}\right)+4.
Agora simplificamos os coeficientes:
\frac{16}{n^{4}}\cdot\frac{(n-1)^{2}n^{2}}{4} =\frac{16}{4}\cdot\frac{(n-1)^{2}n^{2}}{n^{4}} =4\cdot\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}.
Logo
S_{n}=4\cdot\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}+4.

Passo 7

Tomamos o limite de S_{n} quando n\to\infty para obter a integral:
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2\right)\,dx=\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\left(4\cdot\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}+4\right).
Observamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}=1,
portanto
\lim_{n\to\infty}S_{n}=4\cdot 1+4=8.

Resposta

8

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