Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
(retângulos inscritos)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
usando o limite das somas de Riemann com partições de subintervalos de mesmo comprimento e com retângulos inscritos. Informações relevantes dadas: o intervalo é
, a função é
e devemos usar retângulos inscritos (isto é, retângulos que ficam por baixo da curva quando a função é crescente).
Passo 2
Escolhemos uma partição regular com
subintervalos de igual comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
Como a função
é crescente em
(pois
é crescente), os retângulos inscritos correspondem ao uso dos pontos à esquerda de cada subintervalo. Definimos os pontos de amostragem (pontos à esquerda) por
A soma de Riemann com retângulos inscritos (soma à esquerda) é
Passo 3
Substituímos
e
em
:
Separamos a soma em duas partes (uma com o termo cúbico e outra com a constante):
Passo 4
Simplificamos cada soma. Para a soma do cúbico:
Para a soma do termo constante:
Portanto
Passo 5
Mudamos o índice para ficar mais padrão: seja
. Então
varia de
até
e
pois o termo
é zero. Usamos agora a fórmula conhecida para a soma dos cubos dos
primeiros inteiros:
Aqui
, portanto
(Comentário rápido sobre a fórmula: a soma dos primeiros
inteiros é
. A identidade
é uma identidade clássica que pode ser provada por indução ou por argumentos algébricos; aqui aplicamos diretamente.)
Passo 6
Substituímos essa expressão em
:
Agora simplificamos os coeficientes:
Logo
Passo 7
Tomamos o limite de
quando
para obter a integral:
Observamos que
portanto