Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a técnica de resíduos. Vamos modelar
como parte imaginária de
e integrar no plano complexo, escolhendo um semi-círculo no semiplano superior (pois
) para aplicar o lema de Jordan e o teorema dos resíduos.
Passo 2
Observe que
logo
Para simplificar a aplicação do teorema dos resíduos, estendemos a integral à reta inteira:
Como a função
é par, tem-se
Passo 3
Considere a função meromorfa
e o contorno que vai de
a
na reta real mais o semi-círculo de raio
no semiplano superior. Para
, pelo lema de Jordan a contribuição do semi-círculo tende a zero quando
. Pelo teorema dos resíduos,
Passo 4
O único pólo de
no semiplano superior é
. Vamos calcular
Passo 5
Substituindo no teorema dos resíduos,
Então
Como
, concluímos que