Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty x sen k x d xx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=integral0^inftyxsen(kx)x^2+1,dx
usando a técnica de resíduos. Vamos modelar sen(kx) como parte imaginária de e^ikx e integrar no plano complexo, escolhendo um semi-círculo no semiplano superior (pois k>0) para aplicar o lema de Jordan e o teorema dos resíduos.

Passo 2

Observe que
sen(kx)=Iml(e^ikxr),
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I=Imintegral0^inftyx,e^ikxx^2+1,dx
Para simplificar a aplicação do teorema dos resíduos, estendemos a integral à reta inteira:
J=integral-infty^inftyx,e^ikxx^2+1,dx
Como a função x,sen(kx)/(x^2+1) é par, tem-se
J=integral-infty^inftyx,e^ikxx^2+1,dx Longrightarrow Im(J)=2I

Passo 3

Considere a função meromorfa
e o contorno que vai de a na reta real mais o semi-círculo de raio no semiplano superior. Para , pelo lema de Jordan a contribuição do semi-círculo tende a zero quando . Pelo teorema dos resíduos,

Passo 4

O único pólo de no semiplano superior é . Vamos calcular

Passo 5

Substituindo no teorema dos resíduos,
J =2pi icdot e^-k2 =pi i,e^-k
Então
Im(J)=Iml(pi i,e^-kr) =pi,e^-k
Como Im(J)=2I, concluímos que
2I=pi,e^-k Longrightarrow I=pi2,e^-k

Resposta

boxed,integral0^inftyxsen(kx)x^2+1,dx=pi2,e^-k,

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