Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método de resíduos. O conteúdo principal é integração de funções complexas e o uso do Lema de Jordan num semi-círculo, além de calcular resíduos em polos simples. Assumimos
(caso geral surge depois por simetria).
Passo 2
Para aproveitar simetria, consideramos a integral ao longo da reta real completa
Se fecharmos o contorno no semicírculo superior (pois
garante
em grandes raios pelo Lema de Jordan), o único polo de
no semiplano superior é
.
Passo 3
Calculamos o resíduo em
. Como
, em
temos
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no contorno total é
O Lema de Jordan anula a parte sobre o arco no limite de raio infinito, então
Passo 5
Separando em parte real e imaginária, temos
enquanto a parte ímpar com
integra zero. Como
é par,