Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty cos a x d xx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^inftycos(ax)x^2+1,dx
usando o método de resíduos. O conteúdo principal é integração de funções complexas e o uso do Lema de Jordan num semi-círculo, além de calcular resíduos em polos simples. Assumimos a>0 (caso geral surge depois por simetria).

Passo 2

Para aproveitar simetria, consideramos a integral ao longo da reta real completa
I = integral-infty^inftye^i a xx^2+1,dx
Se fecharmos o contorno no semicírculo superior (pois a>0 garante exp(i a z)to0 em grandes raios pelo Lema de Jordan), o único polo de e^i a zz^2+1 no semiplano superior é z=i.

Passo 3

Calculamos o resíduo em . Como , em temos

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no contorno total é
integral-infty^inftye^i a xx^2+1,dx + integralarco = 2pi icdote^-a2i = pi e^-a
O Lema de Jordan anula a parte sobre o arco no limite de raio infinito, então
integral-infty^inftye^i a xx^2+1,dx = pi e^-a

Passo 5

Separando em parte real e imaginária, temos
integral-infty^inftycos(ax)x^2+1,dx = Re!l(pi e^-ar)=pi e^-a,
enquanto a parte ímpar com sin(ax) integra zero. Como cos(ax) é par,
integral0^inftycos(ax)x^2+1,dx =12integral-infty^inftycos(ax)x^2+1,dx =pi2e^-a

Resposta

integral0^inftycos(ax)x^2+1,dx = pi2,e^-a, a>0

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