Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty e^i xx^2+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftye^i xx^2+1,dx
usando o teorema dos resíduos. Vamos precisar de análise complexa, em particular escolher um contorno apropriado e aplicar o lema de Jordan para mostrar que a contribuição no arco tende a zero.

Passo 2

Definimos a função
f(z)=e^izz^2+1
no plano complexo. Os polos simples de f são em z=i e z=-i. Fechamos o contorno no semiplano superior: percorremos a reta real de -R a R e depois o arco semicircular GammaR de raio R com Im z>0. Como em GammaR temos z=Re^itheta e
|e^iz|=e^-Im z=e^-Rsintheta,
o integrando decai exponencialmente e, pelo lema de Jordan,
limRtoinftyintegralGammaRf(z),dz=0

Passo 3

Pelo teorema dos resíduos, o integral sobre o contorno vale
Fazendo e usando que o arco some, obtemos

Passo 4

Para calcular a resíduo em usamos

Passo 5

Substituindo na expressão do passo anterior,
integral-infty^inftye^ixx^2+1dx =2pi icdote^-12i =pi e^-1

Resposta

pi e^-1

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