Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Vamos precisar de análise complexa, em particular escolher um contorno apropriado e aplicar o lema de Jordan para mostrar que a contribuição no arco tende a zero.
Passo 2
Definimos a função
no plano complexo. Os polos simples de
são em
e
. Fechamos o contorno no semiplano superior: percorremos a reta real de
a
e depois o arco semicircular
de raio
com
. Como em
temos
e
o integrando decai exponencialmente e, pelo lema de Jordan,
Passo 3
Pelo teorema dos resíduos, o integral sobre o contorno vale
Fazendo
e usando que o arco some, obtemos
Passo 4
Para calcular a resíduo em
usamos
Passo 5
Substituindo na expressão do passo anterior,