Use o Teorema de Stokes para calcular:
a)
, onde
, sendo
a parte do parabolóide
que está dentro cilindro
, orientado para cima.
b)
, onde
, sendo
o triângulo com vértices
e
, com orientação positiva.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos pede para usar o Teorema de Stokes em dois casos:
a) Calcular
a) Calcular
onde
e
é a parte do paraboloide
dentro do cilindro
, orientada para cima.
b) Calcular
b) Calcular
onde
e
é o triângulo de vértices
com orientação positiva.
Em (a) vamos converter a integral de superfície numa integral de linha ao longo de . Em (b) vamos converter a integral de linha numa integral de superfície do rotacional.
Em (a) vamos converter a integral de superfície numa integral de linha ao longo de
Passo 2
Para (a), a curva
é a interseção do paraboloide com
, ou seja o círculo
em
. Como a superfície está orientada para cima, a orientação positiva de
é no sentido anti-horário visto de cima. Pelo Teorema de Stokes,
Parametrizamos
então
Logo
Esse integrando é função de seno e cosseno cujas primitivas se anulam entre
e
, de modo que
Passo 3
Para (b), escolhemos como superfície
o próprio triângulo no plano
e usamos Stokes:
Primeiro calculamos
No plano
com normal unitário apontando para cima temos
. Assim
A área do triângulo de vértices dados é
. Portanto
Resposta
a)
b)
b)