Use o Teorema de Stokes para calcular:
a) integral duplasigma rot(F) cdot eta d S, onde F(x, y, z)=x^2 z^2 i+y^2 z^2 j+x y z k, sendo sigma a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está dentro cilindro x^2+y^2=4, orientado para cima.
b) integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k, sendo C o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado nos pede para usar o Teorema de Stokes em dois casos:
a) Calcular
integral duplasigmarot(vec F)cdotveceta,dS
onde vec F(x,y,z)=(x^2z^2,,y^2z^2,,xyz) e sigma é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 dentro do cilindro x^2+y^2=4, orientada para cima.
b) Calcular
integralCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y,z)=(x+y^2,,y+z^2,,z+x^2) e C é o triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) com orientação positiva.
Em (a) vamos converter a integral de superfície numa integral de linha ao longo de partialsigma. Em (b) vamos converter a integral de linha numa integral de superfície do rotacional.

Passo 2

Para (a), a curva partialsigma é a interseção do paraboloide com x^2+y^2=4, ou seja o círculo x^2+y^2=4 em z=4. Como a superfície está orientada para cima, a orientação positiva de partialsigma é no sentido anti-horário visto de cima. Pelo Teorema de Stokes,
integral duplasigmarot(vec F)cdotveceta,dS =ointpartialsigmavec Fcdot dvec r
Parametrizamos
x=2cos t, y=2sin t, z=4, tin[0,2pi],
então
vec F|z=4=(16x^2,,16y^2,,4xy), dvec r=(-2sin t,,2cos t,,0),dt
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vec Fcdot dvec r =16l(x^2,dx+y^2,dyr) =16l(4cos^2tcdot(-2sin t)+4sin^2tcdot2cos tr)dt
Esse integrando é função de seno e cosseno cujas primitivas se anulam entre 0 e 2pi, de modo que
ointpartialsigmavec Fcdot dvec r=0

Passo 3

Para (b), escolhemos como superfície Sigma o próprio triângulo no plano x+y+z=1 e usamos Stokes:
integralCvec Fcdot dvec r =integral duplaSigmarot(vec F)cdotveceta,dS
Primeiro calculamos
rot(vec F) =l(partialyR-partialzQ,;partialzP-partialxR,;partialxQ-partialyPr) =(-2z,,-2x,,-2y)
No plano x+y+z=1 com normal unitário apontando para cima temos veceta=tfrac1raiz3(1,1,1). Assim
rot(vec F)cdotveceta =-2x+y+zraiz3=-2raiz3
A área do triângulo de vértices dados é tfracraiz32. Portanto
integral duplaSigmarot(vec F)cdotveceta,dS =-2raiz3cdotraiz32=-1

Resposta

a) 0
b) -1

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