Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que nabla f=F.
a) F(x, y, z)=y^2 z^3 i-2 x y z^3 j+3 x y^2 z^2 k.
b) F(x, y, z)=y e^-x i+e^-x j+2 z k.

Passo 1

O enunciado pede para cada campo vetorial F(x,y,z) decidir se ele é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f tal que nabla f=F. Vamos usar o critério do rotor (curl): em um domínio simplesmente conexo, F é conservativo se, e somente se,
nablatimesF=0

Passo 2

Para o item (a), temos
F(x,y,z)=l(y^2z^3,,-2xyz^3,,3xy^2z^2r)
Calculamos o rotor usando
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Primeiro componente:
partial Rpartial y =partialpartial yl(3xy^2z^2r) =6xyz^2, partial Qpartial z =partialpartial zl(-2xyz^3r) =-6xyz^2,
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(nablatimesF)1 =6xyz^2-(-6xyz^2) =12xyz^2neq0
Como o rotor não é zero, concluímos que F não é conservativo em todo R^3.

Passo 3

Para o item (b), temos
F(x,y,z)=l(y e^-x,,e^-x,,2zr)
Repetimos o cálculo do rotor:
terceiro componente do rotor é
(nablatimesF)3 =partial Qpartial x-partial Ppartial y =partialpartial xl(e^-xr) -partialpartial yl(y e^-xr) =-e^-x-e^-x =-2e^-xneq0
Portanto o rotor também não é zero, e F não é conservativo.

Resposta

a) F não é conservativo.
b) F não é conservativo.

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