Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty e^i x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

O enunciado pede
integral-infty^inftye^i xx^2+4x+5,dx
usando o método dos resíduos. O denominador completa quadrado:
x^2+4x+5=(x+2)^2+1,
logo os polos da função f(z)=e^i zz^2+4z+5 são
z1=-2+i, z2=-2-i
Como e^iz=e^i(x+iy)=e^ixe^-y decai para Im z>0, fechamos o contorno pelo semicírculo superior e aplicamos o lema de Jordan.

Passo 2

Identificamos o único polo no semiplano superior:
z1=-2+i
Vamos calcular o resíduo de f em z1.

Passo 3

Usando a forma fatorada
o resíduo em é
Como , fica

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos,
Opcionalmente, escrevendo em termos de cosseno e seno:

Resposta

integral-infty^inftye^i xx^2+4x+5,dx =pi,e^-1e^-2i =pi e^-1l(cos2 - isin2r)

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