Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos. O conteúdo envolve transformar o cosseno em parte real de , escolher um contorno no semiplano superior, usar o Lema de Jordan e aplicar o Teorema de Cauchy para integrar
Passo 2
Reescrevemos a integral original como a parte real de uma integral com exponencial complexa:
Assim, vamos avaliar
por contorno no semiplano superior, onde decai pela Lema de Jordan.
Passo 3
Identificamos os polos de
como raízes de . Fazendo a completar o quadrado:
Destes, apenas está no semiplano superior.
Passo 4
Calculamos o resíduo em . Como
temos
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Retirando a parte real de I, que corresponde à integral com cosseno, obtemos