Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty cos x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftycos xx^2+4x+5,dx
usando o método dos resíduos. O conteúdo envolve transformar o cosseno em parte real de e^ix, escolher um contorno no semiplano superior, usar o Lema de Jordan e aplicar o Teorema de Cauchy para integrar
integral-infty^inftye^ixx^2+4x+5,dx

Passo 2

Reescrevemos a integral original como a parte real de uma integral com exponencial complexa:
integral-infty^inftycos xx^2+4x+5,dx =Reintegral-infty^inftye^ixx^2+4x+5,dx
Assim, vamos avaliar
I=integral-infty^inftye^ixx^2+4x+5,dx
por contorno no semiplano superior, onde e^iz decai pela Lema de Jordan.

Passo 3

Identificamos os polos de
f(z)=e^izz^2+4z+5
como raízes de z^2+4z+5=0. Fazendo a completar o quadrado:
z^2+4z+5=(z+2)^2+1=0 ;Longrightarrow; z=-2pm i
Destes, apenas z0=-2+i está no semiplano superior.

Passo 4

Calculamos o resíduo em . Como
temos
Pelo Teorema dos Resíduos,

Passo 5

Retirando a parte real de I, que corresponde à integral com cosseno, obtemos
integral-infty^inftycos xx^2+4x+5,dx =Re(I) =Rel(pi,e^-1e^-2ir) =pi,e^-1cos(2)

Resposta

integral-infty^inftycos xx^2+4x+5,dx =pi,e^-1cos(2)

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