Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
w=e^r cos (theta), r=s t, theta=raizs^2+t^2.

Passo 1

O enunciado define a função
z(s,t) = e^rcos(theta),
onde
r = s,t, theta = raizs^2+t^2
O objetivo é calcular partial zpartial s e partial zpartial t usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de z em relação às variáveis intermediárias r e theta. Como
z = e^rcos(theta),
temos
partial zpartial r = e^rcos(theta), partial zpartial theta = -,e^rsin(theta)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de r e theta em relação a s e t:
r = s,t Longrightarrow partial rpartial s=t, partial rpartial t=s
theta = raizs^2+t^2 Longrightarrow partial thetapartial s =sraizs^2+t^2 =stheta, partial thetapartial t =traizs^2+t^2 =ttheta

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para cada derivada parcial:
partial zpartial s = partial zpartial r,partial rpartial s + partial zpartial theta,partial thetapartial s,
partial zpartial t = partial zpartial r,partial rpartial t + partial zpartial theta,partial thetapartial t
Substituindo os resultados dos passos 2 e 3:
partial zpartial s = l(e^rcosthetar),t + l(-e^rsinthetar),stheta = e^rl(tcostheta ;-;stheta,sinthetar),
partial zpartial t = l(e^rcosthetar),s + l(-e^rsinthetar),ttheta = e^rl(scostheta ;-;ttheta,sinthetar)

Resposta

partial zpartial s = e^stl(tcos(raizs^2+t^2);-;sraizs^2+t^2,sin(raizs^2+t^2)r),
partial zpartial t = e^stl(scos(raizs^2+t^2);-;traizs^2+t^2,sin(raizs^2+t^2)r)

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