Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Estamos querendo calcular
usando o Teorema dos Resíduos da Análise Complexa. Para isso, vamos estender a função
ao plano complexo e integrar sobre um contorno que envolva o eixo real e um semicírculo de raio
no semiplano superior, deixando
.
Passo 2
Os polos de
são as raízes de
ou seja
Destes, os que ficam no semiplano superior são
Cada polo é simples, pois
.
Passo 3
O resíduo de
f num polo simples
zk vale
Para
z1=e^ipi/4 temos
z1^2=e^ipi/2=i e
z1^3=e^i3pi/4 , logo
Para
z2=e^i3pi/4 temos
z2^2=e^i3pi/2=-,i e
z2^3=e^i9pi/4=e^ipi/4 , logo
Passo 4
Somando os resíduos no semiplano superior
Pelo Teorema dos Resíduos, o valor de
I é