Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x^2+1x^4+1 d x.

Passo 1

Estamos querendo calcular
I = integral-infty^infty x^2+1x^4+1,dx
usando o Teorema dos Resíduos da Análise Complexa. Para isso, vamos estender a função
f(z) = z^2+1z^4+1
ao plano complexo e integrar sobre um contorno que envolva o eixo real e um semicírculo de raio R no semiplano superior, deixando Rtoinfty.

Passo 2

Os polos de f(z) são as raízes de
z^4 +1 = 0,
ou seja
zk = e^i(pi4 + kpi2), k=0,1,2,3
Destes, os que ficam no semiplano superior são
z1 = e^ipi/4, z2 = e^i3pi/4
Cada polo é simples, pois ddz(z^4+1)|zk=4zk^3neq0.

Passo 3

O resíduo de f num polo simples zk vale
Res(f,zk) = zk^2+14,zk^3
Para z1=e^ipi/4 temos z1^2=e^ipi/2=i e z1^3=e^i3pi/4, logo
Res(f,z1) = i+14,e^i3pi/4 = raiz2e^ipi/44,e^-i3pi/4 = -,iraiz24
Para z2=e^i3pi/4 temos z2^2=e^i3pi/2=-,i e z2^3=e^i9pi/4=e^ipi/4, logo
Res(f,z2) = 1 - i4,e^ipi/4 = raiz2e^-ipi/44,e^-ipi/4 = -,iraiz24

Passo 4

Somando os resíduos no semiplano superior
S = Res(f,z1) + Res(f,z2) = -,iraiz24 - iraiz24 = -,iraiz22
Pelo Teorema dos Resíduos, o valor de I é
I = 2pi i , S = 2pi i l(-iraiz22r) = piraiz2

Resposta

integral-infty^infty x^2+1x^4+1,dx = piraiz2

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