Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Aqui vamos tratar a função racional
e integrar em um contorno que segue o eixo real de
a
e fecha por um semicírculo de raio
no semiplano superior, fazendo
.
Passo 2
Escolhemos o semiplano superior porque o integrando decai como
no infinito, garantindo que a integral sobre o semicírculo tende a zero. Pelo teorema de Cauchy,
Passo 3
Os polos de
são as raízes de
e de
.
– De vem
(no semiplano superior).
– De vem
– De
– De
entre as quais
está no semiplano superior.
Logo, precisamos de e .
Passo 4
Para
, fatoramos
e
Como
,
Passo 5
Para
, usamos a fórmula para polo simples de
:
Aqui
e
Logo
Passo 6
Somando as duas contribuições:
Pelo teorema dos resíduos,