Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x d x(x^2+1)(x^2+2 x+2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftyx,dx(x^2+1)(x^2+2x+2)
usando o teorema dos resíduos. Aqui vamos tratar a função racional
f(z)=z(z^2+1)(z^2+2z+2)
e integrar em um contorno que segue o eixo real de -R a R e fecha por um semicírculo de raio R no semiplano superior, fazendo Rtoinfty.

Passo 2

Escolhemos o semiplano superior porque o integrando decai como no infinito, garantindo que a integral sobre o semicírculo tende a zero. Pelo teorema de Cauchy,

Passo 3

Os polos de são as raízes de e de .
– De vem (no semiplano superior).
– De vem
entre as quais está no semiplano superior.
Logo, precisamos de e .

Passo 4

Para , fatoramos e
Como ,

Passo 5

Para , usamos a fórmula para polo simples de :
Aqui e
Logo

Passo 6

Somando as duas contribuições:
Pelo teorema dos resíduos,

Resposta

-pi5

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