Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
w=e^x^2 y, x=raizs t, y=1t.

Passo 1

O enunciado nos dá z = e^x^2 y com
x = raizs,t e y = 1t
Queremos partial zpartial s e partial zpartial t usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z = e^x^2 y,
partial zpartial x = e^x^2 ycdotddx(x^2 y) = e^x^2 ycdot 2x,y,
partial zpartial y = e^x^2 ycdotddy(x^2 y) = e^x^2 ycdot x^2

Passo 3

Derivamos x e y em relação a s e t.
Como x=(s,t)^1/2,
partial xpartial s = 12 (s,t)^-1/2,t = t2raizs,t,
partial xpartial t = 12 (s,t)^-1/2,s = s2raizs,t
E como y=t^-1,
partial ypartial s=0, partial ypartial t=-t^-2

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s = l(2x,y,e^x^2 yr)t2raizs,t + l(x^2 e^x^2 yr)cdot 0
Cancelando fatores e usando x=raizs,t, y=1/t, obtemos
partial zpartial s = e^x^2 y = e^s

Passo 5

Aplicamos a Regra da Cadeia para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = l(2x,y,e^x^2 yr)s2raizs,t + l(x^2 e^x^2 yr)(-t^-2)
Como x=raizs,t, y=1/t e x^2=s,t, isso dá
partial zpartial t = ste^x^2 y - ste^x^2 y = 0

Resposta

partial zpartial s = e^s, partial zpartial t = 0

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