Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular por resíduos a integral imprópria
O conteúdo necessário é a teoria de integração de funções racionais pelo método do contorno semicircular no semiplano superior e o cálculo de resíduo em polo de ordem 2, usando a fórmula de Cauchy para derivadas.
Passo 2
Definimos a função complexa
e consideramos o contorno
formado pelo eixo real de
a
e pelo semicírculo
de raio
no semiplano
. Como
, o termo da integral sobre
tende a zero quando
.
Passo 3
Os polos de
são em
, cada um de ordem 2. No semiplano superior fica apenas
. Pelo teorema dos resíduos,
Passo 4
Calculamos o resíduo em
para polo duplo:
Fazendo a derivada
Em
isso vale
Logo
Passo 5
Como o integrando é função par,