Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty x^2 d x(x^2+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular por resíduos a integral imprópria
integral0^inftyx^2,dx(x^2+1)^2
O conteúdo necessário é a teoria de integração de funções racionais pelo método do contorno semicircular no semiplano superior e o cálculo de resíduo em polo de ordem 2, usando a fórmula de Cauchy para derivadas.

Passo 2

Definimos a função complexa
f(z)=z^2(z^2+1)^2
e consideramos o contorno CR formado pelo eixo real de -R a R e pelo semicírculo GammaR de raio R no semiplano Im z>0. Como deg(denominador)-deg(numerador)=2, o termo da integral sobre GammaR tende a zero quando Rtoinfty.

Passo 3

Os polos de são em , cada um de ordem 2. No semiplano superior fica apenas . Pelo teorema dos resíduos,

Passo 4

Calculamos o resíduo em para polo duplo:
Fazendo a derivada
Em isso vale
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Passo 5

Como o integrando é função par,
integral0^inftyx^2,dx(x^2+1)^2 =12integral-infty^inftyx^2,dx(x^2+1)^2 =12cdotpi2 =pi4

Resposta

integral0^inftyx^2,dx(x^2+1)^2 =pi4

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