Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos. Vamos usar análise complexa: estender a integral real a uma integral de contorno no semicírculo superior do plano complexo e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Definimos a função de variável complexa
e consideramos o contorno composto pela reta de a no eixo real, mais o semicírculo de raio no semiplano , orientado positivamente.
Passo 3
Os polos de vêm de , ou seja, em e , ambos de ordem 2. No semiplano superior só entra .
Passo 4
Para calcular o resíduo de ordem 2 em , usamos
Fazendo a derivada por quociente:
Avalia em :
Passo 5
Mostramos que a contribuição do semicírculo de raio tende a zero quando . De fato, para ,
e o comprimento do arco é pi R, de modo que a integral sobre o arco vai como pi Rcdot1R^2to0.