Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x^2-1(x^2+1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftyx^2-1(x^2+1)^2,dx
usando o método dos resíduos. Vamos usar análise complexa: estender a integral real a uma integral de contorno no semicírculo superior do plano complexo e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Definimos a função de variável complexa
f(z)=z^2-1(z^2+1)^2
e consideramos o contorno CR composto pela reta de -R a R no eixo real, mais o semicírculo de raio R no semiplano Im z>0, orientado positivamente.

Passo 3

Os polos de f(z) vêm de z^2+1=0, ou seja, em z=i e z=-i, ambos de ordem 2. No semiplano superior só entra z=i.

Passo 4

Para calcular o resíduo de ordem 2 em , usamos
Fazendo a derivada por quociente:
Avalia em :

Passo 5

Mostramos que a contribuição do semicírculo de raio R tende a zero quando Rtoinfty. De fato, para |z|=R,
l|f(z)r|sim|z|^2|z|^4=1R^2,
e o comprimento do arco é pi R, de modo que a integral sobre o arco vai como pi Rcdot1R^2to0.

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos, para ,
Como a integral sobre o arco some, resta

Resposta

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