Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos em análise complexa. Vamos considerar a função
e integrar sobre um grande semicírculo no semiplano superior. Precisamos identificar os polos de ordem 2 em
no semiplano superior, calcular seus resíduos e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
As raízes de
são
ou seja
No semiplano superior ficam
e
, ambos polos de segunda ordem para
.
Passo 3
Para um polo de ordem 2 em
, a fórmula do resíduo de
com
,
e
é
Aqui
e
, então
Logo, em
temos
Passo 4
Calculamos cada contribuição no semiplano superior:
Então
Portanto a soma dos resíduos é
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos, a integral no contorno (reta real mais semicírculo) vale
Como a contribuição do semicírculo grande tende a zero, concluímos