Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty d x(x^4+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftydxl(x^4+1r)^2
usando o método dos resíduos em análise complexa. Vamos considerar a função
f(z)=1l(z^4+1r)^2
e integrar sobre um grande semicírculo no semiplano superior. Precisamos identificar os polos de ordem 2 em z^4+1=0 no semiplano superior, calcular seus resíduos e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

As raízes de z^4+1=0 são
zk = e^i(2k+1)pi4, k=0,1,2,3,
ou seja
z0 = e^ipi/4, z1 = e^i3pi/4, z2 = e^i5pi/4, z3 = e^i7pi/4
No semiplano superior ficam
z1=e^ipi/4 e z2=e^i3pi/4, ambos polos de segunda ordem para f(z).

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em , a fórmula do resíduo de
com , e é
Aqui e , então
Logo, em temos

Passo 4

Calculamos cada contribuição no semiplano superior:
Então
Portanto a soma dos resíduos é

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, a integral no contorno (reta real mais semicírculo) vale
Como a contribuição do semicírculo grande tende a zero, concluímos

Resposta

integral-infty^inftydxl(x^4+1r)^2 =3raiz2,pi8

Exercícios relacionados