Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty 1x^6+1 d x.

Passo 1

Estamos calculando a integral imprópria integral-infty^infty 1x^6+1,dx. O conteúdo é análise complexa, mais especificamente integração por contorno e cálculo de resíduos. Vamos precisar escolher um contorno adequado, achar os polos de f(z)=1/(z^6+1) no semiplano superior e usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Escolhemos um contorno que consiste na reta real de -R a R e o semicírculo de raio R no semiplano superior. Como f(z) decai como 1/|z|^6 em módulo, a contribuição do semicírculo tende a zero quando Rtoinfty. Então a integral desejada sobre a reta real é 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior.

Passo 3

Encontramos os polos resolvendo z^6+1=0. As raízes são
zk = e^i(pi/6 + kpi/3), k=0,1,dots,5
No semiplano superior ficam z0=e^ipi/6, z1=e^ipi/2 e z2=e^i5pi/6.

Passo 4

Como são polos simples, usamos a fórmula
Res(f,zk)=1(z^6+1)'r|z=zk=16zk^5

Passo 5

Calculamos a soma dos resíduos:
sumk=0^2 16zk^5 =16sumk=0^2 e^-i5(pi/6 + kpi/3) =16(-2i) =-i3

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
integral-infty^infty 1x^6+1,dx =2pi il(-i3r) =2pi3

Resposta

2pi3

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