Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Estamos calculando a integral imprópria
. O conteúdo é análise complexa, mais especificamente integração por contorno e cálculo de resíduos. Vamos precisar escolher um contorno adequado, achar os polos de
no semiplano superior e usar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Escolhemos um contorno que consiste na reta real de
a
e o semicírculo de raio
no semiplano superior. Como
decai como
em módulo, a contribuição do semicírculo tende a zero quando
. Então a integral desejada sobre a reta real é
vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior.
Passo 3
Encontramos os polos resolvendo
. As raízes são
No semiplano superior ficam
,
e
.
Passo 4
Como são polos simples, usamos a fórmula
Passo 5
Calculamos a soma dos resíduos:
Passo 6
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale