- Suponha que
, para alguma constante
qualquer, defina
implicitamente como uma função de
e
. Mostre que se
, então
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
(com
constante) e que queremos definir
implicitamente como função de
. O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema da Função Implícita e da diferenciação implícita usando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
.
Passo 2
Pelo Teorema da Função Implícita, se
então, numa vizinhança adequada, existe única função diferenciável
tal que
Passo 3
Para achar
, diferenciamos a identidade
em relação a
, mantendo
fixo. Aplicando a regra da cadeia:
Isolando
, obtemos
Passo 4
De modo análogo, para
diferenciamos
em relação a
, com
fixo. Pela regra da cadeia:
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