1. Suponha que F(x, y, z)=k, para alguma constante k in R qualquer, defina z implicitamente como uma função de x e y. Mostre que se partial Fpartial z neq 0, então
partial zpartial x=-partial Fpartial xpartial Fpartial z e partial zpartial y=-partial Fpartial ypartial Fpartial z

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função F(x,y,z)=k (com k constante) e que queremos definir z implicitamente como função de (x,y). O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema da Função Implícita e da diferenciação implícita usando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de z.

Passo 2

Pelo Teorema da Função Implícita, se
partial Fpartial z(x,y,z)neq 0
então, numa vizinhança adequada, existe única função diferenciável z(x,y) tal que
Fl(x,y,z(x,y)r)=k

Passo 3

Para achar partial zpartial x, diferenciamos a identidade
Fl(x,y,z(x,y)r)=k
em relação a x, mantendo y fixo. Aplicando a regra da cadeia:
0 = partialpartial xFl(x,y,z(x,y)r) = partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x
Isolando partial zpartial x, obtemos
partial zpartial x =-partial Fpartial xpartial Fpartial z

Passo 4

De modo análogo, para partial zpartial y diferenciamos
Fl(x,y,z(x,y)r)=k
em relação a y, com x fixo. Pela regra da cadeia:
0 = partialpartial yFl(x,y,z(x,y)r) = partial Fpartial y + partial Fpartial z,partial zpartial y
Logo,
partial zpartial y =-partial Fpartial ypartial Fpartial z

Resposta

partial zpartial x =-partial Fpartial xpartial Fpartial z e partial zpartial y =-partial Fpartial ypartial Fpartial z

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