Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos. O conteúdo principal aqui é integrar uma função racional de
estendendo-a ao plano complexo, fechar um contorno no semicírculo superior e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Definimos a função complexa
cuja única singularidade são as raízes de
. Tomamos o contorno composto pela reta de
a
e o semicírculo de raio
no semiplano superior. Como o grau do denominador (6) excede em pelo menos 2 o do numerador (0), o integral sobre o arco tende a zero quando
. Pelo teorema dos resíduos,
Como
é par, vale
Passo 3
As raízes de
são
No semiplano superior temos
, ou seja
,
,
.
Passo 4
Cada polo é simples e
Logo a soma dos resíduos no semiplano superior é
Passo 5
Calculamos
Como
, temos
. Assim
Passo 6
Pelo teorema dos resíduos,
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