Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty d xx^6+9^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^inftydxx^6+9^2
usando o método dos resíduos. O conteúdo principal aqui é integrar uma função racional de x estendendo-a ao plano complexo, fechar um contorno no semicírculo superior e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Definimos a função complexa
cuja única singularidade são as raízes de . Tomamos o contorno composto pela reta de a e o semicírculo de raio no semiplano superior. Como o grau do denominador (6) excede em pelo menos 2 o do numerador (0), o integral sobre o arco tende a zero quando . Pelo teorema dos resíduos,
Como é par, vale

Passo 3

As raízes de z^6=-81 são
zk=r,e^ithetak com r=81^1/6=3^2/3, thetak=pi+2pi k6,;k=0,1,dots,5
No semiplano superior temos k=0,1,2, ou seja
theta0=pi/6, theta1=pi/2, theta2=5pi/6.

Passo 4

Cada polo é simples e
Logo a soma dos resíduos no semiplano superior é

Passo 5

Calculamos
Como , temos . Assim

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos,
integral-infty^inftydxx^6+81 =2pi il(-i,3^-13/3r) =2pi,3^-13/3
Logo
integral0^inftydxx^6+81 =12,2pi,3^-13/3 =pi,3^-13/3

Resposta

boxedintegral0^inftydxx^6+9^2 =pi,3^-13/3 =pi81,raiz[3]3

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