Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x^2 d xx^4+x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2,dxx^4+x^2+1
usando o método dos resíduos, que é parte da teoria de integração em contorno na análise complexa. Vamos estender a função
f(z)=z^2z^4+z^2+1
ao plano complexo, escolher um contorno conveniente e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Escolhemos o contorno formado pela reta real de a mais o semicírculo superior de raio . Como para temos
pela desigualdade de Jordan o integral sobre o arco superior tende a zero quando . Logo

Passo 3

Os polos de f são as raízes de
z^4+z^2+1=0
Fazendo w=z^2 vem w^2+w+1=0 com soluções
w=e^2pi i/3, w=e^4pi i/3
Portanto
z=pm e^ipi/3, z=pm e^i2pi/3
No semiplano superior estão
z1=e^ipi/3 e z2=e^i2pi/3.

Passo 4

Em cada polo simples usamos
Para temos e
logo
Para vem e
portanto
Somando as duas contribuições:

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos no contorno completo e fazendo Rtoinfty:
integral-infty^inftyx^2,dxx^4+x^2+1 =2pi il(-i2raiz3r) =2pi,i,( -i)2raiz3 =piraiz3

Resposta

integral-infty^infty x^2,dxx^4+x^2+1 =piraiz3

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