Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
usando o método dos resíduos, que é parte da teoria de integração em contorno na análise complexa. Vamos estender a função
ao plano complexo, escolher um contorno conveniente e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Escolhemos o contorno formado pela reta real de
a
mais o semicírculo superior de raio
. Como para
temos
pela desigualdade de Jordan o integral sobre o arco superior tende a zero quando
. Logo
Passo 3
Os polos de
f são as raízes de
Fazendo
w=z^2 vem
w^2+w+1=0 com soluções
Portanto
No semiplano superior estão
z1=e^ipi/3 e
z2=e^i2pi/3 .
Passo 4
Em cada polo simples
usamos
Para
temos
e
logo
Para
vem
e
portanto
Somando as duas contribuições:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos no contorno completo e fazendo
Rtoinfty :