Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty x^2 d xx^4+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^infty x^2,dxx^4+1
usando o método dos resíduos em análise complexa. Vamos usar um contorno semicircular no semiplano superior e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Identificamos os polos de
f(z)=z^2z^4+1
resolvendo z^4+1=0. As raízes são
zk=e^ipi+2pi k4, k=0,1,2,3,
ou seja
z0=e^ipi/4, z1=e^i3pi/4, z2=e^i5pi/4, z3=e^i7pi/4
No semiplano superior ficam z0 e z1.

Passo 3

Pelo teorema dos resíduos, para um raio do contorno semicircular,
Mostra‐se que a contribuição do arco quando . Logo

Passo 4

Os polos são simples e
Portanto

Passo 5

Calculando
Logo
Multiplicando por :

Resposta

integral-infty^inftyx^2,dxx^4+1=piraiz2

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