Determine o ponto dado pela interseção das retas:
r1:c x=1+t y=1-t z=2 t , t in R,
e
r2:(x, y, z)=(2,0,2)+s(-1,1,0), s in R

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 via equações paramétricas e pede o ponto onde elas se cruzam. O conteúdo aqui é resolver um sistema igualando coordenadas para encontrar os parâmetros t e s.

Passo 2

Anotamos as equações de cada reta:
r1: x=1+t, y=1-t, z=2t,
r2: x=2 - s, y=0 + s, z=2
Para a interseção, igualamos componente a componente e montamos o sistema:
1 + t = 2 - s,
1 - t = s,
2t = 2

Passo 3

Da terceira equação 2t=2, isolamos t:
t = 1

Passo 4

Substituindo t=1 na segunda equação 1 - t = s, obtemos
1 - 1 = s Longrightarrow s = 0

Passo 5

Verificamos a primeira equação com t=1 e s=0:
1 + 1 = 2 e 2 - 0 = 2,
logo é satisfeita. O ponto de interseção vem de r1 em t=1:
x = 1 + 1 = 2, y = 1 - 1 = 0, z = 2cdot1 = 2

Resposta

O ponto de interseção é (2,0,2).

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