Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty sen x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral-infty^infty sin xx^2 + 4x + 5,dx
usando o método dos resíduos. Vamos usar a identidade
sin x = Iml(e^i xr)
e considerar o integral complexo
J = integral-infty^infty e^i xx^2 + 4x + 5,dx,
fechando o contorno no semicírculo superior, pois ali e^i z decai quando Im z > 0. Ao final teremos I = Im(J).

Passo 2

Reescrevemos o denominador completando quadrado:
x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1
Os polos da função
f(z) = e^i z(z+2)^2 + 1
são dados por (z+2)^2 + 1 = 0, ou seja
z = -2 pm i
No semiplano superior fica somente
z0 = -2 + i

Passo 3

Calculamos o resíduo de em . Como o polo é simples,
e
logo em vale . Portanto

Passo 4

Pela fórmula dos resíduos no semiplano superior,

Passo 5

Como queremos I = Im(J), escrevemos
J = pi e^-1l(cos(2) - isin(2)r)
e portanto
I = Im(J) = pi e^-1l(-sin(2)r) = -pi e^-1sin(2)

Resposta

integral-infty^infty sin xx^2+4x+5,dx = -pi,e^-1sin(2)

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