Determine a equação do plano que contém essas retas.
r1:c x=1+t y=1-t z=2 t , t in R,
e
r2:(x, y, z)=(2,0,2)+s(-1,1,0), s in R

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as retas
r1: x=1+t, y=1-t, z=2t, tinR,
e
r2:(x,y,z)=(2,0,2)+s(-1,1,0), sinR
Estamos em Geometria Analítica no espaço e vamos precisar extrair um ponto e um vetor diretor de cada reta, obter um vetor normal ao plano via produto vetorial e, em seguida, montar a equação do plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e seus vetores diretores:
  • Para r1, ao tomar t=0 temos o ponto P1=(1,1,0) e o vetor diretor
vec v1=(1,-1,2)
  • Para r2, ao tomar s=0 temos o ponto P2=(2,0,2) e o vetor diretor
vec v2=(-1,1,0)

Passo 3

Como vec v1 e vec v2 não são paralelos, as retas definem um plano. Para achar um vetor normal vec n ao plano, fazemos o produto vetorial
vec n = vec v1 times vec v2

Passo 4

Calculamos o produto vetorial:
vec v1 times vec v2 = i & j & k 1 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 = (-2,, -2,,0)
Podemos simplificar escolhendo vec n=(1,1,0), que é paralelo a (-2,-2,0).

Passo 5

A equação do plano com normal vec n=(1,1,0) passando por P1=(1,1,0) é
vec ncdotl((x,y,z)-P1r)=0 Longrightarrow (1,1,0)cdot(x-1,y-1,z-0)=0
Longrightarrow; (x-1)+(y-1)=0 ;Longrightarrow; x+y-2=0

Resposta

A equação do plano que contém as retas r1 e r2 é
boxedx + y - 2 = 0

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