Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty cos x d x(x^2+a)^2+b^2, a, b in R.

Passo 1

Vamos calcular
usando análise complexa e o teorema dos resíduos. A ideia é interpretar como a parte real de e integrar
num semicírculo no semiplano superior, aplicando a lema de Jordan e o teorema dos resíduos.

Passo 2

Como e o integrando é par, vale
Pela escolha do semicírculo no semiplano (e supondo ), o contorno fecha sem contribuição na parte curva, sobrando vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior.

Passo 3

Os polos são as raízes de
Escrevemos e definimos
Então os dois polos em são

Passo 4

Para um polo simples de temos
e
Em vale , em vale . Logo

Passo 5

Pela fórmula de contorno,
Chamando
fazendo a álgebra (usando e que ), obtém-se
Como e é real,

Resposta

Definindo
chegamos a

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