Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Vamos calcular
usando análise complexa e o teorema dos resíduos. A ideia é interpretar
como a parte real de e integrar
num semicírculo no semiplano superior, aplicando a lema de Jordan e o teorema dos resíduos.
Passo 2
Como e o integrando é par, vale
Pela escolha do semicírculo no semiplano
(e supondo
), o contorno fecha sem contribuição na parte curva, sobrando vezes a soma dos resíduos dos polos no semiplano superior.
Passo 3
Os polos são as raízes de
Escrevemos
e definimos
Então os dois polos em
são
Passo 4
Para um polo simples
de
temos
e
Em
vale , em
vale . Logo
Passo 5
Pela fórmula de contorno,
Chamando
fazendo a álgebra (usando
e que ), obtém-se
Como
e
é real,
Resposta
Definindo
chegamos a