Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty sin x d x(x^2+a^2)(x^2+b^2), a, b in R.

Passo 1

O enunciado pede calcular
I=integral0^inftysin x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx,
com a,b>0, usando o Teorema dos Resíduos. Vamos decompor em frações parciais e usar a fórmula canônica
integral0^inftysin xx^2+c^2,dx =pi2ce^-c,
que pode ser obtida por integração no contorno adequado e aplicação do Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos
1(x^2+a^2)(x^2+b^2) =1b^2-a^2l(1x^2+a^2-1x^2+b^2r)
Logo
I=1b^2-a^2l( underbraceintegral0^inftysin xx^2+a^2,dxIa -underbraceintegral0^inftysin xx^2+b^2,dxIb r)

Passo 3

Pela fórmula obtida via resíduos no primeiro quadrante, para c>0 vale
Ic=integral0^inftysin xx^2+c^2,dx =pi2ce^-c
Portanto
Ia=pi2ae^-a, Ib=pi2be^-b

Passo 4

Substituindo em I
I =1b^2-a^2 l(pi2ae^-a-pi2be^-br) =pi2,(b^2-a^2)l(e^-aa-e^-bbr)

Resposta

boxed integral0^inftysin x(x^2+a^2)(x^2+b^2),dx =pi2,l(b^2-a^2r) l(e^-aa-e^-bbr)

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