Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^infty x sen x d x(x^2+1)^2.

Passo 1

O problema pede para calcular
I = integral0^infty xsin x(x^2+1)^2,dx
usando o método dos resíduos de Análise Complexa. Vamos reescrever a parte sin x como a parte imaginária de e^ix e montar uma integral sobre o eixo real que depois estendemos a um contorno no semiplano superior.

Passo 2

Note que
sin x = Iml(e^ixr),
logo
I = Imgl(integral0^infty x,e^ix(x^2+1)^2,dxgr)
Como a função
f(z)=z,e^iz(z^2+1)^2
é ímpar em z quando multiplicada por cos x e par quando multiplicada por sin x, estendemos a integral de 0 a infty para -infty a infty, usando
integral-infty^infty z,e^iz(z^2+1)^2,dz = integral-infty^infty zcos z(z^2+1)^2,dz + iintegral-infty^infty zsin z(z^2+1)^2,dz
O primeiro termo é zero (integrando função ímpar sobre simétrico), e o segundo é 2iI. Portanto,
integral-infty^infty f(x),dx = 2i,I

Passo 3

Vamos calcular por contorno fechado no semiplano superior. Num semicírculo de raio com , , tem-se
e , de modo que a contribuição do arco tende a zero quando (Lema de Jordan). Pelo Teorema dos Resíduos,
O único pólo no semiplano superior é , de ordem 2, pois .

Passo 4

Para achar usamos a fórmula do pólo de ordem 2:
Chame . Então
Em temos , e . Logo

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
integral-infty^inftyf(x),dx =2pi icdote^-14 =pi i,e^-12
Mas também sabemos que essa integral é 2i,I. Portanto
2,i,I = pi i,e^-12 Longrightarrow I = pi,e^-14

Resposta

boxed,integral0^inftyxsin x(x^2+1)^2,dx = pi4,e^-1

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