Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos .
Passo 1
O problema pede para calcular
usando o método dos resíduos de Análise Complexa. Vamos reescrever a parte como a parte imaginária de e montar uma integral sobre o eixo real que depois estendemos a um contorno no semiplano superior.
Passo 2
Note que
logo
Como a função
é ímpar em quando multiplicada por e par quando multiplicada por , estendemos a integral de a para a , usando
O primeiro termo é zero (integrando função ímpar sobre simétrico), e o segundo é . Portanto,
Passo 3
Vamos calcular por contorno fechado no semiplano superior. Num semicírculo de raio com , , tem-se e , de modo que a contribuição do arco tende a zero quando (Lema de Jordan). Pelo Teorema dos Resíduos,
O único pólo no semiplano superior é , de ordem 2, pois .