Encontre a derivada direcional de f em P na direção do vetor u.
f(x, y, z)=z-xz+y, P=(1,0,-3), u=(-6,3,-2).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a derivada direcional de f(x,y,z)=z-xz+y no ponto P=(1,0,-3) na direção do vetor vec u=(-6,3,-2). O conteúdo aqui é derivada direcional em R^3, para o qual precisamos do gradiente de f e do vetor unitário na direção de vec u.

Passo 2

Calcular o vetor unitário hat u. A norma de vec u é
lVertvec urVert =raiz(-6)^2+3^2+(-2)^2 =raiz36+9+4 =raiz49 =7
Logo
hat u =vec ulVertvec urVert =17(-6,3,-2) =l(-67,37,-27r)

Passo 3

Obter o gradiente de f. Como f(x,y,z)=z-xz+y, pelas derivadas do quociente temos
partial fpartial x =-(z+y)(z+y)^2 =-1z+y, partial fpartial y =-z-x(z+y)^2, partial fpartial z =(z+y)-(z-x)(z+y)^2 =x+y(z+y)^2
Portanto
nabla f(x,y,z) =l(-tfrac1z+y,,-tfracz-x(z+y)^2,,tfracx+y(z+y)^2r)

Passo 4

Avaliar nabla f em P=(1,0,-3). Aqui z+y=-3, z-x=-4 e x+y=1, logo
partial fpartial x(P) =-1-3 =13, partial fpartial y(P) =--4(-3)^2 =49, partial fpartial z(P) =1(-3)^2 =19
Assim
nabla f(P) =l(tfrac13,,tfrac49,,tfrac19r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção de vec u é
Dvec uf(P) =nabla f(P)cdothat u =l(tfrac13,tfrac49,tfrac19r) cdot l(-tfrac67,tfrac37,-tfrac27r) =-863

Resposta

-tfrac863

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