Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty (x^2-x^4)(1-x^6) d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
I = integral-infty^infty x^2-x^41-x^6,dx
usando o teorema dos resíduos. Veremos que, após simplificar, a integral se torna de uma função par e sem singularidades reais, permitindo o uso de contorno semicircular no semiplano superior.

Passo 2

Simplificamos o integrando fatorando:
x^2-x^41-x^6 = x^2(1-x^2)(1-x^2)(1+x^2+x^4) = x^2x^4+x^2+1
Note que em x=pm1 a singularidade é removível, e a função resultante é par. Logo
I=2integral0^inftyx^2x^4+x^2+1,dx

Passo 3

Definimos a função complexa
f(z)=z^2z^4+z^2+1
e integramos sobre o contorno que é a união do eixo real de -R a R e do semicírculo de raio R no semiplano superior. Os polos de f são as raízes de
z^4+z^2+1=0
isto é
z^2=-1pm iraiz32 Longrightarrow z=pm e^ipi/3, pm e^i2pi/3
No semiplano superior ficam
z1=e^ipi/3, z2=e^i2pi/3

Passo 4

Calculamos o resíduo em cada polo simples por
Para temos
logo
Para obtém-se
logo
Somando

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, tomando e usando que a contribuição do arco tende a zero, temos
Como coincide com o integrando original para todo , concluímos que

Resposta

piraiz3

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