Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular
usando o teorema dos resíduos. Veremos que, após simplificar, a integral se torna de uma função par e sem singularidades reais, permitindo o uso de contorno semicircular no semiplano superior.
Passo 2
Simplificamos o integrando fatorando:
Note que em
a singularidade é removível, e a função resultante é par. Logo
Passo 3
Definimos a função complexa
e integramos sobre o contorno que é a união do eixo real de
a
e do semicírculo de raio
no semiplano superior. Os polos de
são as raízes de
isto é
No semiplano superior ficam
Passo 4
Calculamos o resíduo em cada polo simples
por
Para
temos
logo
Para
obtém-se
logo
Somando
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos, tomando
e usando que a contribuição do arco tende a zero, temos
Como
coincide com o integrando original para todo
, concluímos que