Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^pi d theta4-cos theta.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^pidtheta4-costheta
por meio do Teorema dos Resíduos, ou seja, transformando a integral num contorno no plano complexo usando
;z=e^itheta, ;dtheta=dziz e ;costheta=z+z^-12.

Passo 2

Como a função depende apenas de costheta, podemos dobrar o intervalo e depois dividir por 2:
integral0^pidtheta4-costheta =12integral0^2pidtheta4-costheta
Aplicando z=e^itheta e dtheta=dziz obtemos
integral0^2pidtheta4-costheta =oint|z|=1dz,i,zl(4-tfracz+z^-12r)

Passo 3

Simplificando o denominador:
4-tfracz+z^-12 =8z-(z^2+1)2z,
logo
oint|z|=1dz,i,z,(4-tfracz+z^-12) =oint|z|=12,dz,i,(8z-z^2-1) =2ioint|z|=1dzz^2-8z+1

Passo 4

Os polos de são as raízes de , ou seja
Dessas, somente está dentro do círculo .
O resíduo em é
Pelo Teorema dos Resíduos:

Passo 5

Retornando à integral pedida:
integral0^pidtheta4-costheta =12integral0^2pidtheta4-costheta =piraiz15

Resposta

piraiz15

Exercícios relacionados