Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos .
Passo 1
O problema pede para calcular
usando o método dos resíduos. Vamos converter essa integral real numa integral de contorno no plano complexo com a substituição , , .
Passo 2
Fazendo a substituição, a parte real fica
Multiplicando por , obtemos a integral de contorno
Passo 3
O polinômio fatora como
As singularidades de ordem simples dentro do círculo são e ainda temos um polo de ordem 2 em .
Como o parâmetro vai de a , isso equivale a percorrer o contorno no sentido horário, mas podemos notar que a função é -periódica, então .
Pelo teorema dos resíduos,
Passo 4
Calculemos os resíduos:
Polo simples em :
Polo duplo em : usamos a fórmula
Passo 5
Somando os resíduos:
sum = 56,i ;+;l(-58,ir) = 5il(16-18r) = 5icdot124 = -5,i24
Pelo teorema dos resíduos,
I = 2pi i;l(-5,i24r) = 2pi;524 = 5pi12
Mas note que aqui usamos a versão de contorno de 0 a 2pi.
Como de fato integral-pi^pi=integral0^2pi para esta função periódica, o valor final é