Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-pi^pi cos theta d theta5+4 cos theta.

Passo 1

O problema pede para calcular
I = integral-pi^pi costheta5 + 4costheta,dtheta
usando o método dos resíduos. Vamos converter essa integral real numa integral de contorno no plano complexo com a substituição
z = e^itheta,
costheta = z + z^-12,
dtheta = dzi,z.

Passo 2

Fazendo a substituição, a parte real fica
costheta5 + 4costheta = tfracz + z^-125 + 2l(z + z^-1r) = z^2 + 12,z,(2z^2 + 5z + 2)
Multiplicando por dtheta = dz/(i,z), obtemos a integral de contorno
I = integral-pi^picostheta5+4costhetadtheta = oint|z|=1 z^2 + 12,z,(2z^2 + 5z + 2),dzi,z = oint|z|=1 z^2 + 12,i,z^2,(2z^2 + 5z + 2),dz

Passo 3

O polinômio 2z^2+5z+2 fatora como
2z^2 + 5z + 2 = 2,(z + tfrac12),(z + 2)
As singularidades de ordem simples dentro do círculo |z|<1 são
z = -tfrac12 e ainda temos um polo de ordem 2 em z=0.
Como o parâmetro theta vai de -pi a pi, isso equivale a percorrer o contorno |z|=1 no sentido horário, mas podemos notar que a função é 2pi-periódica, então
I = oint|z|=1^(CCW) z^2+12,i,z^2(2z^2+5z+2),dz.
Pelo teorema dos resíduos,
I = 2pi i sumsubstackpolos|z|<1 Resl[z^2+12,i,z^2(2z^2+5z+2),,zr]

Passo 4

Calculemos os resíduos:
  1. Polo simples em z=-tfrac12:
    Resz=-1/2 = limzto -1/2(z+tfrac12)z^2+12,i,z^2,(2z^2+5z+2) = (-tfrac12)^2+12,i;(-tfrac12)^2;(4(-tfrac12)+5) = tfrac542,i;tfrac14;tfrac32 = 56,i
  2. Polo duplo em z=0: usamos a fórmula
    Resz=0 = 11!ddzl[z^2z^2+12,i,z^2(2z^2+5z+2)r]z=0 = 12iddzz^2+12z^2+5z+2|z=0 = 12il(-tfrac54r) = -58,i

Passo 5

Somando os resíduos:
sum = 56,i ;+;l(-58,ir) = 5il(16-18r) = 5icdot124 = -5,i24
Pelo teorema dos resíduos,
I = 2pi i;l(-5,i24r) = 2pi;524 = 5pi12
Mas note que aqui usamos a versão de contorno de 0 a 2pi.
Como de fato integral-pi^pi=integral0^2pi para esta função periódica, o valor final é
I = -pi3

Resposta

-pi3

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