Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Resumindo, queremos calcular a integral
usando o método dos resíduos (análise complexa). Para isso, faremos a substituição
, escreveremos
em função de
, transformaremos a integral em um contorno sobre
e aplicaremos o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Fazendo
temos
e
Logo
Assim o integrando vira
Portanto
Passo 3
Os polos estão nas raízes de
ou seja
Na circunferência
só entram as raízes
e
, pois
.
Passo 4
Para um polo simples
a fórmula do resíduo de
é
com
.
Para temos
, logo
Para
e
Para
o cálculo dá o mesmo valor de resíduo, ou seja
.
.
Passo 5
Somando os dois resíduos dentro do círculo:
Pelo Teorema dos Resíduos,