Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-pi^pi d theta1+sen^2 theta.

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral
I = integral-pi^pi dtheta1+sen^2theta
usando o método dos resíduos (análise complexa). Para isso, faremos a substituição z=e^itheta, escreveremos sentheta em função de z, transformaremos a integral em um contorno sobre |z|=1 e aplicaremos o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazendo z=e^itheta temos dtheta=dziz e
sentheta = e^itheta-e^-itheta2i = z - z^-12i
Logo
sen^2theta = 2 - z^2 - z^-24 Longrightarrow 1+sen^2theta = -z^4 +6z^2 -14z^2
Assim o integrando vira
11+sen^2theta,dtheta = 4z^2-z^4+6z^2-1,dziz = -4zil(z^4-6z^2+1r),dz
Portanto
I = oint|z|=1 -4zi,(z^4-6z^2+1),dz

Passo 3

Os polos estão nas raízes de
P(z)=z^4-6z^2+1=0 Longrightarrow z^2=3pm2raiz2
ou seja
z=pm(raiz2+1), z=pm(raiz2-1)
Na circunferência |z|=1 só entram as raízes
a=raiz2-1 e -a, pois raiz2-1<1.

Passo 4

Para um polo simples a fórmula do resíduo de
é
com .
Para temos , logo
e
Para o cálculo dá o mesmo valor de resíduo, ou seja
.

Passo 5

Somando os dois resíduos dentro do círculo:
Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

boxedpiraiz2

Exercícios relacionados