Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^2 pi d theta5-3 sin theta.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
I = integral0^2pi dtheta5 - 3 sintheta
usando o teorema dos resíduos. Para isso, faremos a substituição z = e^itheta, passaremos a integral para o contorno lvert zrvert=1 e identificaremos os polos dentro do disco unitário.

Passo 2

Fazendo z=e^itheta temos ,dtheta = dzi,z e
sintheta = e^itheta-e^-itheta2i = z - z^-12i
Substituindo em I obtemos
I = oint|z|=1 15 - 3z - z^-12i ,dzi,z
Multiplicando numerador e denominador por 2i e reorganizando, chega-se a
I = oint|z|=1 2-3z^2 + 10i,z + 3,dz

Passo 3

Para aplicar o teorema dos resíduos, identificamos os zeros do denominador
-3z^2 + 10i,z + 3 = 0 Longrightarrow z = 3i,;i3
Destes, apenas lvert i/3rvert<1 está dentro do círculo unitário.

Passo 4

Calculamos o resíduo em :

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,
I = 2pi i times l(-tfraci4r) = pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados