Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^2 pi cos ^2 3 theta5-4 cos 2 theta d theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^2pi cos^2(3theta)5 - 4cos(2theta),dtheta
usando o método de resíduos (ou, de forma equivalente, a fórmula complexa para integrais do tipo
integral0^2picos(ntheta)a-bcostheta,dtheta).
Vamos primeiro reescrever o numerador em termos de cossenos com múltiplos inteiros de theta.

Passo 2

Usamos a identidade
cos^2(3theta) = 1 + cos(6theta)2
Então
I = 12 integral0^2pi 15-4cos(2theta),dtheta ;+;12 integral0^2pi cos(6theta)5-4cos(2theta),dtheta

Passo 3

Conhecemos (obtido por teorema dos resíduos) que, para a>|b| e inteiro k>=0,
integral0^2pi cosl(2kthetar)a - bcos(2theta),dtheta = 2piraiza^2-b^2;l(a - raiza^2-b^2,b,r)^k
Aqui a=5, b=4 e raiz5^2-4^2=raiz25-16=3.
  • Para k=0 (isto é, o termo “1” no numerador): integral0^2pi15-4cos(2theta),dtheta = 2pi3l(5-34r)^0 = 2pi3
  • Para k=3 (o termo cos(6theta)): integral0^2picos(6theta)5-4cos(2theta),dtheta = 2pi3l(5-34r)^3 = 2pi3l(24r)^3 = 2pi3cdot18 = pi12

Passo 4

Voltando a I,
I = 12cdot2pi3 + 12cdotpi12 = pi3 + pi24 = 8pi + pi24 = 9pi24 = 3pi8

Resposta

boxed3pi8

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