Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo aqui é transformar a integral real numa integral de contorno no plano complexo via a substituição
e então aplicar o Teorema dos Resíduos em torno do círculo unitário
.
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
e
Logo a integral vira
Passo 3
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
. No numerador fica
e no denominador obtemos
Agrupando termos e usando
, define-se
de modo que
Passo 4
Os polos são as raízes de
. Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, encontra-se
Multiplicando numerador e denominador por
dá
Calcula-se
e
, logo apenas
está dentro de
.
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos,
Como
temos
Logo