Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^2 pi d theta4+cos theta+sin theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^2pi dtheta4 + costheta + sintheta
usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo aqui é transformar a integral real numa integral de contorno no plano complexo via a substituição
z = e^itheta, dtheta = dzi,z,
e então aplicar o Teorema dos Resíduos em torno do círculo unitário |z|=1.

Passo 2

Fazendo a substituição z=e^itheta, temos
costheta = z + z^-12, sintheta = z - z^-12i,
e
dtheta = dzi,z
Logo a integral vira
I = oint|z|=1 14 + z+z^-12 + z - z^-12i;dzi,z

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 2z. No numerador fica
2zi,z,dz = 2i,dz,
e no denominador obtemos
2zcdot 4 ;+; (z+z^-1),z ;+;z - z^-1i,z =8z + (z^2+1) + z^2 - 1i
Agrupando termos e usando tfrac1i=-,i, define-se
Q(z) = (1 - i),z^2 + 8,z + (1 + i),
de modo que
I = 2i,oint|z|=1 dzQ(z)

Passo 4

Os polos são as raízes de Q(z)=0. Resolvendo
(1 - i)z^2 + 8z + (1 + i) = 0
pela fórmula de Bhaskara, encontra-se
z = -8 pm raiz64 - 4(1 - i)(1 + i)2(1 - i) = -8 pm 2raiz142(1 - i) = -4 pm raiz141 - i
Multiplicando numerador e denominador por 1+i
z1 = l(-2 + tfracraiz142r)(1 + i), z2 = l(-2 - tfracraiz142r)(1 + i)
Calcula-se lvert z1rvert<1 e lvert z2rvert>1, logo apenas z1 está dentro de |z|=1.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
Como
temos
Logo

Resposta

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