Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-pi^pi d theta2+sin theta-cos theta.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
I = integral-pi^pi dtheta2 + sintheta - costheta
usando o método dos resíduos. Vamos usar a substituição complexa z = e^itheta, de modo que sintheta, costheta e dtheta se transformam em funções racionais de z.

Passo 2

Com z=e^itheta temos
sintheta = tfracz - z^-12i,
costheta = tfracz + z^-12 e
,dtheta = tfracdziz.
Assim o denominador fica
2 + z - z^-12i - z + z^-12 =(1 - i)z - (1 + i)z^-1 + 4i2i
Logo
dtheta2 + sintheta - costheta =dziz;2i(1 - i)z - (1 + i)z^-1 + 4i =2,dz(1 - i)z^2 + 4i,z - (1 + i)
Portanto
I = oint|z|=1 2,dzf(z), f(z)=(1 - i)z^2 + 4i,z - (1 + i)

Passo 3

Calculamos as raízes de f(z)=0:
(1 - i)z^2 + 4i,z - (1 + i)=0
O discriminante é De<a=-8, de onde as raízes são
zpm =i(-4pm2raiz2)2(1 - i) =(-2pmraiz2)(-1+i)2
Numericamente z+approx0,293-0,293i (dentro de |z|<1) e z-approx1,707-1,707i (fora do círculo). Só z+ contribui ao contorno.

Passo 4

O resíduo em é
Calculando em obtemos , logo

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,

Resposta

piraiz2

Exercícios relacionados