Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos em análise complexa. Vamos:
- Expressar
como meio de uma integral de a . - Usar a substituição
para transformar em integral de contorno. - Identificar polos dentro do círculo unitário e calcular resíduos.
- Aplicar o teorema dos resíduos e voltar ao intervalo original.
Passo 2
Como o integrando é
-periódico e par em
, temos
Logo basta achar
e depois tomar
.
Passo 3
Use
, então
e
Assim
O elemento
dá um fator
, então
Passo 4
Os polos são dadas pelas raízes de
Para
, uma delas, digamos
, satisfaz
, e a outra cai fora de
. Como o denominador está ao quadrado,
é polo de ordem 2.
Passo 5
Para polo duplo em
, o resíduo é
Como
, isso fica
Passo 6
Pelo teorema dos resíduos,
Então