Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral0^pi d theta(a+cos theta)^2, com a>1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^pidthetal(a+costhetar)^2, a>1,
usando o teorema dos resíduos em análise complexa. Vamos:
  1. Expressar I como meio de uma integral de 0 a 2pi.
  2. Usar a substituição z=e^itheta para transformar em integral de contorno.
  3. Identificar polos dentro do círculo unitário e calcular resíduos.
  4. Aplicar o teorema dos resíduos e voltar ao intervalo original.

Passo 2

Como o integrando é 2pi-periódico e par em theta, temos
integral0^2pidtheta(a+costheta)^2 =2integral0^pidtheta(a+costheta)^2 =2I
Logo basta achar
J=integral0^2pidtheta(a+costheta)^2
e depois tomar I=J/2.

Passo 3

Use z=e^itheta, então dtheta=dziz e
costheta=z+z^-12
Assim
a+costheta =2az+z^2+12z,
1(a+costheta)^2 =4z^2(z^2+2az+1)^2
O elemento dtheta dá um fator 1/(iz), então
J =oint|z|=14z^2(z^2+2az+1)^2,dziz =oint|z|=14z,i,(z^2+2az+1)^2,dz

Passo 4

Os polos são dadas pelas raízes de
z^2+2az+1=0 Longrightarrow z1,2=-apmraiza^2-1
Para a>1, uma delas, digamos z1=-a+raiza^2-1, satisfaz |z1|<1, e a outra cai fora de |z|=1. Como o denominador está ao quadrado, z1 é polo de ordem 2.

Passo 5

Para polo duplo em , o resíduo é
Como , isso fica

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos,
Então

Resposta

boxedintegral0^pidtheta(a+costheta)^2 =pi,a(a^2-1)^3/2, a>1

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