Mostre que a equação diferencial
admite soluções tanto do tipo
como
, resolvendo-a por ambas as formas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a equação diferencial
tem soluções do tipo
e
. Isso tá dentro do conteúdo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar duas abordagens diferentes: uma assumindo que a solução tem a forma exponencial
e outra assumindo que a solução é um polinômio
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar soluções da forma
. Quando a gente assume que a solução é exponencial, a gente substitui
e suas derivadas na equação original.
Sabemos que:
Substituindo na equação
:
Como
nunca é zero, a única forma dessa equação ser verdadeira é se o coeficiente
for igual a zero:
Então, a solução exponencial é:
Passo 3
Agora, vamos procurar soluções da forma polinomial
. Para isso, também substituímos
e suas derivadas na equação diferencial.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação
:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, o coeficiente deve ser zero:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as soluções polinomiais são:
Resposta
As soluções da equação diferencial
são
e
. Assim, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.