Mostre que a equação diferencial y^prime prime=0 admite soluções tanto do tipo e^r x como x^m, resolvendo-a por ambas as formas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a equação diferencial y'' = 0 tem soluções do tipo e^rx e x^m . Isso tá dentro do conteúdo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar duas abordagens diferentes: uma assumindo que a solução tem a forma exponencial e^rx e outra assumindo que a solução é um polinômio x^m .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar soluções da forma y = e^rx . Quando a gente assume que a solução é exponencial, a gente substitui y e suas derivadas na equação original.
Sabemos que:
y = e^rx y' = r e^rx y'' = r^2 e^rx
Substituindo na equação y'' = 0 :
r^2 e^rx = 0
Como e^rx nunca é zero, a única forma dessa equação ser verdadeira é se o coeficiente r^2 for igual a zero:
r^2 = 0 implies r = 0
Então, a solução exponencial é:
y = e^0x = 1

Passo 3

Agora, vamos procurar soluções da forma polinomial y = x^m . Para isso, também substituímos y e suas derivadas na equação diferencial.
Calculando as derivadas:
y = x^m y' = m x^m-1 y'' = m (m-1) x^m-2
Substituindo na equação y'' = 0 :
m (m-1) x^m-2 = 0
Para que essa igualdade seja válida para todos os x , o coeficiente deve ser zero:
m (m-1) = 0
Resolvendo essa equação:
m = 0 ou m = 1
Portanto, as soluções polinomiais são:
y = x^0 = 1 e y = x^1 = x

Resposta

As soluções da equação diferencial y'' = 0 são y = 1 e y = x . Assim, a solução geral é:
y(x) = C1 + C2 x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

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