Encontre a solução geral da equação diferencial y^prime ^prime+y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' + y = x . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Isso significa que temos que encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea. Para isso, vamos precisar entender como encontrar essas duas partes separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y'' + y = 0 . Para resolver isso, usamos a equação característica, que é uma equação algebraica obtida substituindo y = e^rx na equação diferencial.
A equação característica fica:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = -1 implies r = pm i
Os valores imaginários indicam que as soluções da equação homogênea serão funções trigonométricas.

Passo 3

Com as raízes r = pm i , a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos(x) + C2 sin(x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso estejam disponíveis.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa y'' + y = x . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( x ), vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = A x + B
onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação original:
0 + (A x + B) = x
Simplificando:
A x + B = x

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
A = 1 e B = 0
Portanto, a solução particular é:
yp = x

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial y'' + y = x é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 cos(x) + C2 sin(x) + x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos(x) + C2 sin(x) + x

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