Encontre a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Isso significa que temos que encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea. Para isso, vamos precisar entender como encontrar essas duas partes separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, usamos a equação característica, que é uma equação algebraica obtida substituindo
na equação diferencial.
A equação característica fica:
Resolvendo para
:
Os valores imaginários indicam que as soluções da equação homogênea serão funções trigonométricas.
Passo 3
Com as raízes
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso estejam disponíveis.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial
é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: