Calcule d yd x em cada item.
y=((x^3+7)^4+x)^5x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx, da função:
y = ((x^3 + 7)^4 + x)^5x^2 + 1
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia. Essas regras são fundamentais para derivar funções que são frações e que têm dentro delas funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão nos ajudar a aplicar a regra do quociente. A regra do quociente é usada quando temos uma função que é uma divisão de duas outras funções, ou seja, f(x)g(x) .
No nosso caso:
  • f(x) = ((x^3 + 7)^4 + x)^5
  • g(x) = x^2 + 1

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de f(x)g(x) é:
dydx = f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)[g(x)]^2
Então, precisamos achar f'(x) e g'(x) .

Passo 4

Vamos começar derivando g(x) = x^2 + 1 :
Aplicando a regra do poder:
g'(x) = 2x

Passo 5

Agora, vamos derivar f(x) = ((x^3 + 7)^4 + x)^5 . Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, porque temos uma função dentro de outra função.
Primeiro, vamos definir:
  • u = (x^3 + 7)^4 + x
  • Então, f(x) = u^5
Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 5u^4 cdot dudx
Agora, precisamos encontrar dudx :
u = (x^3 + 7)^4 + x
Derivando:
dudx = 4(x^3 + 7)^3 cdot 3x^2 + 1
dudx = 12x^2(x^3 + 7)^3 + 1
Então, substituindo de volta em f'(x) :
f'(x) = 5((x^3 + 7)^4 + x)^4 cdot (12x^2(x^3 + 7)^3 + 1)

Passo 6

Agora que temos f'(x) e g'(x) , vamos aplicar a regra do quociente:
dydx = f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)[g(x)]^2
Substituindo os valores:
dydx = 5((x^3 + 7)^4 + x)^4 (12x^2(x^3 + 7)^3 + 1) cdot (x^2 + 1) - ((x^3 + 7)^4 + x)^5 cdot 2x(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
dydx = 5((x^3 + 7)^4 + x)^4 (12x^2(x^3 + 7)^3 + 1) (x^2 + 1) - 2x((x^3 + 7)^4 + x)^5(x^2 + 1)^2

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