Calcule d yd x em cada item.
y=(xx+1)^10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de y = (xx+1)^10 em relação a x , ou seja, dydx . Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para lidar com a potência e a fração dentro da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a Regra da Cadeia. Temos uma função externa, que é algo elevado à potência 10, e uma função interna, que é a fração xx+1 . A Regra da Cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa. Se temos u^10 , onde u é uma função de x , a derivada é 10u^9 cdot dudx . Aqui, u = xx+1 . Então, a derivada de y será:
dydx = 10 (xx+1)^9 cdot ddx(xx+1)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna xx+1 . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos f(x)g(x) , a derivada é f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 . Aqui, f(x) = x e g(x) = x+1 .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x) :
f'(x) = ddx(x) = 1
g'(x) = ddx(x+1) = 1

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:
ddx(xx+1) = 1 cdot (x+1) - x cdot 1(x+1)^2 = x + 1 - x(x+1)^2 = 1(x+1)^2

Passo 7

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão que tínhamos para dydx :
dydx = 10 (xx+1)^9 cdot 1(x+1)^2

Passo 8

Podemos simplificar essa expressão juntando os denominadores:
dydx = 10x^9(x+1)^11

Resposta

A derivada de y = (xx+1)^10 em relação a x é:
dydx = 10x^9(x+1)^11

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