Calcule
em cada item.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para lidar com a potência e a fração dentro da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a Regra da Cadeia. Temos uma função externa, que é algo elevado à potência 10, e uma função interna, que é a fração
. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa. Se temos
, onde
é uma função de
, a derivada é
. Aqui,
. Então, a derivada de
será:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna
. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 7
Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão que tínhamos para
:
Passo 8
Podemos simplificar essa expressão juntando os denominadores:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: