Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x)=x(x^2-1)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x) = x(x^2-1)^4 .
Matéria envolvida: Derivadas de funções racionais usando a regra do quociente e a regra da cadeia.
O que precisamos: Saber aplicar essas regras para encontrar a derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar para usar a regra do quociente. A regra do quociente é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Aqui, temos:
  • Numerador (u): u(x) = x
  • Denominador (v): v(x) = (x^2-1)^4
A regra do quociente diz que:
( uv )' = u'v - uv'v^2

Passo 3

Vamos derivar u(x) = x .
A derivada de x em relação a x é 1, ou seja:
u'(x) = 1

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = (x^2-1)^4 .
Para isso, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta, como é o caso aqui.
A regra da cadeia nos diz que:
ddx [g(x)]^n = n [g(x)]^n-1 cdot g'(x)
Aqui, g(x) = x^2-1 e n = 4 .
Então, derivando:
v'(x) = 4 (x^2-1)^3 cdot 2x = 8x (x^2-1)^3

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com os valores que encontramos:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)v(x)^2
Substituindo:
f'(x) = 1 cdot (x^2-1)^4 - x cdot 8x (x^2-1)^3(x^2-1)^8

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(x^2-1)^4 - 8x^2 (x^2-1)^3 = (x^2-1)^3 [ (x^2-1) - 8x^2 ]
Simplificando dentro dos colchetes:
(x^2-1) - 8x^2 = -7x^2 -1
Então, o numerador fica:
-(7x^2 + 1) (x^2-1)^3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de f'(x) :
f'(x) = -(7x^2 + 1) (x^2-1)^3(x^2-1)^8 = -7x^2 + 1(x^2-1)^5

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = -7x^2 + 1(x^2-1)^5

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