Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Matéria envolvida: Derivadas de funções racionais usando a regra do quociente e a regra da cadeia.
O que precisamos: Saber aplicar essas regras para encontrar a derivada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar para usar a regra do quociente. A regra do quociente é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Aqui, temos:
- Numerador (u):
- Denominador (v):
A regra do quociente diz que:
Passo 3
Vamos derivar
.
A derivada de
em relação a
é 1, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos derivar
.
Para isso, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta, como é o caso aqui.
A regra da cadeia nos diz que:
Aqui,
e
.
Então, derivando:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente com os valores que encontramos:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A derivada da função é