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(a) A derivada de f(x) = raiz(x^2 + raiz(1 + x^3))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada. Isso envolve conceitos de derivação de funções compostas e uso da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções como raiz quadrada e polinômios.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes internas da função para aplicar a regra da cadeia. A função é composta de duas funções dentro de outra. Primeiro, temos , e depois adicionamos a isso, e finalmente tiramos a raiz quadrada de todo esse resultado.

Passo 3

Vamos derivar a função , onde . A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia, a derivada de será:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , onde . Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de é , usando novamente a regra da cadeia.
Então, temos:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de é

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