Escrever a função comprimento de arco:
r(t) = (cos(2t), sen(2t), 4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos escrever a função comprimento de arco para a função vetorial dada:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo derivadas e integrais para encontrar o comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Para encontrar o comprimento de arco , precisamos calcular a integral da velocidade vetorial. Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo (ou norma) da derivada , que representa a velocidade:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o módulo da velocidade, podemos agora integrar para encontrar o comprimento de arco :
Integrando:

Resposta

A função comprimento de arco é:

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