Escrever a função comprimento de arco:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos escrever a função comprimento de arco para a função vetorial dada:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo derivadas e integrais para encontrar o comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Para encontrar o comprimento de arco
, precisamos calcular a integral da velocidade vetorial. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o módulo (ou norma) da derivada
, que representa a velocidade:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 4
Com o módulo da velocidade, podemos agora integrar para encontrar o comprimento de arco
:
Integrando:
Resposta
A função comprimento de arco é: